Teorema caratterizzazione per le funzioni derivabili
Ciao, sto studiando per l'orale di Analisi. Siccome ho saltato alcune lezioni, non ho preso gli appunti quindi volevo sapere se qualcuno di voi è in possesso della dimostrazione del seguente teorema di caratterizzazione per le funzioni derivabili.
L'enunciato è:
Sia f definita da ab in R, derivabile;
Allora, sono equivalenti:
1) f è convessa;
2) f' è crescente;
3) per ogni x0 che appartiene ad (a,b), f(x0)+f'(x0)(x-x0)<=f(x), cioè la retta tangente sta sotto il grafico di f.
Sul libro non c'è. Grazie mille
L'enunciato è:
Sia f definita da ab in R, derivabile;
Allora, sono equivalenti:
1) f è convessa;
2) f' è crescente;
3) per ogni x0 che appartiene ad (a,b), f(x0)+f'(x0)(x-x0)<=f(x), cioè la retta tangente sta sotto il grafico di f.
Sul libro non c'è. Grazie mille
Risposte
Hint : se $f'(x)$ crescente $ rarr f''(x)>0 $ .
La prima implicazione, $1) Rightarrow 2)$ è banalissima.
Sai che presi comunque due punti $x_1 < x_2$ si ha:
$f'_+ (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_- (x_2)$
ma la $f$ è derivabile, quindi $f'(x_1) = f'_+ (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_- (x_2) = f'(x_2)$,
da cui $f'(x_1) <= f'(x_2) Rightarrow f' "crescente"$.
Sai che presi comunque due punti $x_1 < x_2$ si ha:
$f'_+ (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_- (x_2)$
ma la $f$ è derivabile, quindi $f'(x_1) = f'_+ (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_- (x_2) = f'(x_2)$,
da cui $f'(x_1) <= f'(x_2) Rightarrow f' "crescente"$.
"Camillo":
Hint : se $f'(x)$ crescente $ rarr f''(x)>0 $ .
Nelle ipotesi non è specificato che la $f$ è due volte derivabile (non serve).
Per $2) Rightarrow 3)$, invece: fissa $x_0$. Usa Lagrange prima in $[x , x_0]$ e poi in $[x_0 , x]$ e considera che vale $1)$.
Allora, innanzitutto grazie per le risposte. Seneca, la dimostrazione da 1 a 2 mi è chiara; l'unica cosa che non mi è chiara è da dove viene fuori quella disuguaglianza (evidente graficamente) che hai scritto e sulla quale si basa la dimostrazione. La disuguaglianza è ovvia se si fa un disegno, però se il professore me la chiede io che gli rispondo 
?
?
Io l'ho studiata con un altro teorema:
Teorema: $f: I -> RR$ , $I$ intervallo. Allora sono equivalenti:
1) $f$ convessa;
2) $AA x in I$ , esistono finite $f'_- (x) , f'_+ (x)$ se $x$ appartiene all'interno di $I$. E si ha sempre $f'_- (x) <= f'_+ (x)$;
E infine se $x_1 < x_2 in I$, si ha che $f'_- (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_+ (x_2)$ .
3) In ogni punto interno esiste una "retta di appoggio al grafico" (non necessariamente la tangente; infatti nelle ipotesi non ha parte la derivabilità di $f$).
A te interessava $1) Rightarrow 2)$. Quindi:
Prima parte:
§ $x_0 in I$ , $x_1 < x_2 < x_0$
Per un noto lemma (*) (che spero tu abbia fatto ) :
$(f(x_1) - f(x_0))/(x_1 - x_0) <= (f(x_2) - f(x_0))/(x_2 - x_0)$ ovvero:
$R_(x_0)^(f) (x_1) <= R_(x_0)^(f) (x_2)$
quindi il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ è crescente a sinistra di $x_0$.
Per il teorema del limite sulle monotone: $lim_(x -> x_0^- ) R_(x_0)^(f) (x) = f'_- (x_0)$
§ Poi consideri $x_0 < x_1 < x_2$ e concludi (seguendo i passaggi di prima) : $lim_(x -> x_0^+ ) R_(x_0)^(f) (x) = f'_+ (x_0)$
§ Ora prendi: $x_1 < x_0 < x_2$ .
Per il lemma: $R_(x_0)^(f) (x_1) <= R_(x_0)^(f) (x_2)$
Il rapporto incrementale, dalle considerazioni fatte prima, è crescente sia a destra che a sinistra di $x_0$.
$lim_(x_1 -> x_0^- ) R_(x_0)^(f) (x_1 ) = f'_- (x_0)$
$lim_(x_2 -> x_0^+ ) R_(x_0)^(f) (x_2) = f'_+ (x_0)$
Conclusione: $f'_- (x_0) <= f'_+ (x_0)$ (e inoltre sono valori finiti).
Seconda parte:
Prendi $x_1 < x_2 in I$ :
$f'_+ (x_1) = "inf"_(x > x_1 ) R_(x_1)^(f) (x) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)
$f'_- (x_2) = "sup"_(x < x_2 ) R_(x_2)^(f) (x) >= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$
Da cui la bella disuguaglianza che ho usato per dimostare l'implicazione $f$ convessa $Rightarrow$ $f'$ crescente , nel teo. precedente.
__________
(*) Lemma: $f$ convessa $ Rightarrow AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$
Teorema: $f: I -> RR$ , $I$ intervallo. Allora sono equivalenti:
1) $f$ convessa;
2) $AA x in I$ , esistono finite $f'_- (x) , f'_+ (x)$ se $x$ appartiene all'interno di $I$. E si ha sempre $f'_- (x) <= f'_+ (x)$;
E infine se $x_1 < x_2 in I$, si ha che $f'_- (x_1) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) <= f'_+ (x_2)$ .
3) In ogni punto interno esiste una "retta di appoggio al grafico" (non necessariamente la tangente; infatti nelle ipotesi non ha parte la derivabilità di $f$).
A te interessava $1) Rightarrow 2)$. Quindi:
Prima parte:
§ $x_0 in I$ , $x_1 < x_2 < x_0$
Per un noto lemma (*) (che spero tu abbia fatto ) :
$(f(x_1) - f(x_0))/(x_1 - x_0) <= (f(x_2) - f(x_0))/(x_2 - x_0)$ ovvero:
$R_(x_0)^(f) (x_1) <= R_(x_0)^(f) (x_2)$
quindi il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ è crescente a sinistra di $x_0$.
Per il teorema del limite sulle monotone: $lim_(x -> x_0^- ) R_(x_0)^(f) (x) = f'_- (x_0)$
§ Poi consideri $x_0 < x_1 < x_2$ e concludi (seguendo i passaggi di prima) : $lim_(x -> x_0^+ ) R_(x_0)^(f) (x) = f'_+ (x_0)$
§ Ora prendi: $x_1 < x_0 < x_2$ .
Per il lemma: $R_(x_0)^(f) (x_1) <= R_(x_0)^(f) (x_2)$
Il rapporto incrementale, dalle considerazioni fatte prima, è crescente sia a destra che a sinistra di $x_0$.
$lim_(x_1 -> x_0^- ) R_(x_0)^(f) (x_1 ) = f'_- (x_0)$
$lim_(x_2 -> x_0^+ ) R_(x_0)^(f) (x_2) = f'_+ (x_0)$
Conclusione: $f'_- (x_0) <= f'_+ (x_0)$ (e inoltre sono valori finiti).
Seconda parte:
Prendi $x_1 < x_2 in I$ :
$f'_+ (x_1) = "inf"_(x > x_1 ) R_(x_1)^(f) (x) <= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)
$f'_- (x_2) = "sup"_(x < x_2 ) R_(x_2)^(f) (x) >= (f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1)$
Da cui la bella disuguaglianza che ho usato per dimostare l'implicazione $f$ convessa $Rightarrow$ $f'$ crescente , nel teo. precedente.
__________
(*) Lemma: $f$ convessa $ Rightarrow AA x < y < z in RR$ si deve avere che $(f(y) - f(x))/(y - x) <= (f(z) - f(x))/(z - x) <= (f(z) - f(y))/(z - y)$
Se c'è qualcosa che non ti è chiaro, avverti. Non è escluso che abbia commesso errori!
Una segnalazione. Il lemma citato da Seneca si chiama lemma delle tre corde, un nome molto utile per ricordarlo vista la forte caratterizzazione geometrica (vedi Webster Convexity, Theorem 5.1.1).
"Soscia":
Ciao, sto studiando per l'orale di Analisi. Siccome ho saltato alcune lezioni, non ho preso gli appunti quindi volevo sapere se qualcuno di voi è in possesso della dimostrazione del seguente teorema di caratterizzazione per le funzioni derivabili.
L'enunciato è:
Sia f definita da ab in R, derivabile;
Allora, sono equivalenti:
1) f è convessa;
2) f' è crescente;
3) per ogni x0 che appartiene ad (a,b), f(x0)+fì(x0)(x-x0)<=f(x), cioè la retta tangente sta sotto il grafico di f.
Sul libro non c'è. Grazie mille
Ciao se f è convessa allora esiste g perdefinzione crescente e comprendente una famiglia invadente f tale che f' non vede g da sotto, ma ben sì dallo 0+.
Pertanto, f è tangente sotto al grafico dove g non invade la famiglia Au.
Bye
"dissonance":
Una segnalazione. Il lemma citato da Seneca si chiama lemma delle tre corde, un nome molto utile per ricordarlo vista la forte caratterizzazione geometrica (vedi Webster Convexity, Theorem 5.1.1).
Io conosco un teorema che il professore ha citato come "lemma delle tre pendenza"...è lo stesso?
Te l'ho enunciato! Controlla tu stesso se è lo stesso...
Bene, la prima parte l'ho sistemata, per caso puoi aiutarmi nella dimostrazione da 2) a 3)?
"Soscia":
Bene, la prima parte l'ho sistemata, per caso puoi aiutarmi nella dimostrazione da 2) a 3)?
Ti ho dato un suggerimento per ricostruirla. E' proprio semplice.
P.S.: Per quanto riguarda la dimostrazione che ho trascritto prima ti è tutto chiarissimo?
"Seneca":
[quote="Soscia"]Bene, la prima parte l'ho sistemata, per caso puoi aiutarmi nella dimostrazione da 2) a 3)?
Ti ho dato un suggerimento per ricostruirla. E' proprio semplice.
P.S.: Per quanto riguarda la dimostrazione che ho trascritto prima ti è tutto chiarissimo?[/quote]
Si, diciamo che mi è chiaro, ho qualche dubbio solo sul simbolismo che hai usato, per esempio cosa indichi con R e cosa significa precisamente inf_(x>x1)(R_x1)^f(x)
$R$ è il rapporto incrementale. E $"inf"_(x > x_1) R_(x_1)^(f) (x)$ è l'inferiore dei valori assunti da $R_(x_1)^(f) (x)$, per $x > x_1$.
"Soscia":Sicuramente sono la stessa cosa. Ok, vedo che conoscevi già questa interpretazione geometrica, meglio così. Se non te le visualizzi geometricamente queste cose sono un incubo da ricordare...
Io conosco un teorema che il professore ha citato come "lemma delle tre pendenza"...è lo stesso?
Allora, riflettendo sulla dimostrazione da 2 a 3, mi è venuto in mente un altro modo per dimostrare l'implicazione 1)->2). probabilmente sto per dire cavolate...comunque...
Considero una funzione convessa definita in un intervallo (a,b), ed un punto $x0$ interno a tale intervallo. Usando Lagrange, nell'intorno sinistro di $x0$, posso dire che $((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f'(x_k)$, con $x_k$ un punto contenuto in (a, x0) e $f'(x_k)$ quantità negativa . Viceversa, applicando Lagrange all'intorno destro di $x0$, abbiamo: $((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f'(x_j)$, con $x_j$ un punto contenuto nell'intervallo (x0, b) e $f'(x_j)$ quantità positiva. Quindi, siccome la derivata della funzione a sinistra di $x0$ è negativa, mentre a destra è positiva, possiamo concludere che $f'$ è crescente.
Riflettendoci, la dimostrazione che ho scritto io è valida solo se $x0$ è un punto di minimo, però sicuramente si riesce a trovare un intervallo a sinistra di $x0$ in cui la derivata prima è totalmente negativa ed un intervallo a destra di $x0$ in cui la derivata è totalmente positiva, indipendentemente da come si sceglie $x0$.
Considero una funzione convessa definita in un intervallo (a,b), ed un punto $x0$ interno a tale intervallo. Usando Lagrange, nell'intorno sinistro di $x0$, posso dire che $((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f'(x_k)$, con $x_k$ un punto contenuto in (a, x0) e $f'(x_k)$ quantità negativa . Viceversa, applicando Lagrange all'intorno destro di $x0$, abbiamo: $((f(x)-f(x0))/(x-x0))=f'(x_j)$, con $x_j$ un punto contenuto nell'intervallo (x0, b) e $f'(x_j)$ quantità positiva. Quindi, siccome la derivata della funzione a sinistra di $x0$ è negativa, mentre a destra è positiva, possiamo concludere che $f'$ è crescente.
Riflettendoci, la dimostrazione che ho scritto io è valida solo se $x0$ è un punto di minimo, però sicuramente si riesce a trovare un intervallo a sinistra di $x0$ in cui la derivata prima è totalmente negativa ed un intervallo a destra di $x0$ in cui la derivata è totalmente positiva, indipendentemente da come si sceglie $x0$.
$f'$ crescente significa presi comunque $x_1 < x_2 in I$ si ha $f'(x_1) <= f'(x_2)$.
L'hai dimostrato? Non mi è proprio evidente, dalla tua dimostrazione, questa conclusione.
L'hai dimostrato? Non mi è proprio evidente, dalla tua dimostrazione, questa conclusione.
"Seneca":
$f'$ crescente significa presi comunque $x_1 < x_2 in I$ si ha $f'(x_1) <= f'(x_2)$.
L'hai dimostrato? Non mi è proprio evidente, dalla tua dimostrazione, questa conclusione.
Vabbè...comunque ti sarei grato se mi spiegassi come si dimostra l'implicazione da 2 a 3. Come mi hai suggerito tu, applicando Lagrange a sinistra di x0 ottengo una derivata negativa, mentre applicando Lagrange all'intorno destro ottengo una derivata positiva; inoltre, essendo vera la 1->2, la derivata è crescente. Quindi come faccio a dedurre, sulla base di queste considerazioni, il punto 3, cioè che la retta tangente è sotto il grafico di f? Grazie ancora
Prendi $x_0 in I$.
$x < x_0$ , $(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = f'(xi)$, con $x < xi < x_0$ (Lagrange)
Ma $f'$ è crescente per ipotesi, quindi $f'(xi) <= f'(x_0)$, allora:
$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) <= f'(x_0)$ , da cui $f(x) - f(x_0) >= f'(x_0)(x - x_0) Rightarrow f(x) >= f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$
Questo vale per $x < x_0$. Ora devi (di)mostrare che vale anche per $x > x_0$.
$x < x_0$ , $(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = f'(xi)$, con $x < xi < x_0$ (Lagrange)
Ma $f'$ è crescente per ipotesi, quindi $f'(xi) <= f'(x_0)$, allora:
$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) <= f'(x_0)$ , da cui $f(x) - f(x_0) >= f'(x_0)(x - x_0) Rightarrow f(x) >= f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$
Questo vale per $x < x_0$. Ora devi (di)mostrare che vale anche per $x > x_0$.
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