Teorema caratterizzazione per le funzioni derivabili

Sk_Anonymous
Ciao, sto studiando per l'orale di Analisi. Siccome ho saltato alcune lezioni, non ho preso gli appunti quindi volevo sapere se qualcuno di voi è in possesso della dimostrazione del seguente teorema di caratterizzazione per le funzioni derivabili.

L'enunciato è:
Sia f definita da ab in R, derivabile;
Allora, sono equivalenti:
1) f è convessa;
2) f' è crescente;
3) per ogni x0 che appartiene ad (a,b), f(x0)+f'(x0)(x-x0)<=f(x), cioè la retta tangente sta sotto il grafico di f.

Sul libro non c'è. Grazie mille

Risposte
Sk_Anonymous
"Seneca":
Prendi $x_0 in I$.

$x < x_0$ , $(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) = f'(xi)$, con $x < xi < x_0$ (Lagrange)

Ma $f'$ è crescente per ipotesi, quindi $f'(xi) <= f'(x_0)$, allora:

$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0) <= f'(x_0)$ , da cui $f(x) - f(x_0) >= f'(x_0)(x - x_0) Rightarrow f(x) >= f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Questo vale per $x < x_0$. Ora devi (di)mostrare che vale anche per $x > x_0$.

Ok, grazie mille.

Sk_Anonymous
Ciao, senza che apro un altro topic, volevo sapere se qualcuno di voi è in possesso dell'enunciato e della dimostrazione del seguente teorema:
"Caratterizzazione dell'integrabilità usando le somme di Riemann". La dimostrazione si compone di due parti, e mi ricordo che quando il professore la spiego, iniziò dall'implicazione 2->1, poichè l'implicazione 1->2 era molto complicata. Grazie mille

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