Teorema

[dennysmathprof]

Se [tex]f:[2,3]\rightarrow R, f{'}[/tex] continua

e [tex]2f(3)=f(2)+8, \int_2^{3}f(x)dx=\cfrac{1}{3}[/tex]

dobbiamo dimostrare che esiste al meno uno [tex]\xi\in(2,3): f{'}(\xi)=2\xi[/tex]

[Rigel1]

Definiamo \(g(x) := f(x) - x^2\). Dalle ipotesi su \(f\) deduciamo che \(2g(3) = g(2) - 6\) e \(\int_2^3 g = -6\).
Per assurdo supponiamo che \(g'(\xi) > 0\) per ogni \(\xi \in (2,3)\) (analogamente si ragionerà nel caso \(g' < 0\)); osserviamo, per inciso, che ciò varrebbe anche senza l'ipotesi \(g'\) continua, grazie alla proprietà di Darboux delle derivate.
Poiché \(g\) è strettamente monotona crescente avremo dunque che \(g(3) > g(2) = 2g(3) + 6\), cioè \(g(3) < -6\), e inoltre
\[
-6 = \int_2^3 g < g(3) < -6,
\]
assurdo.