Tensore di deformazione in coordinate cilindriche
salve a tutti!!!
sono un nuovo membro del forum.
Avevo già pubblicato l'argomento sulla sezione di ingegneria ma non ho avuto risposta,pensandoci bene il mio dubbio è puramente matematico e di ingegneristico c'è poco perciò chiedo aiuto a voi.
Ho un problema nel ricavare il tensore di deformazione infinitesima in coordinate cilindriche dato un campo di spostamento espresso sempre in coordinate cilindriche.
il procedimento che ho seguito è questo:
-dal campo di spostamento,faccio il gradiente e ricavo la matrice dei gradienti di spostamento
(gradiente in coordinate cilindriche).
campo di spostamento: $ vec(u) =u hat(r) +v hat(vartheta ) +w hat(z) $
a cui applico il gradiente:
$ grad f=(partial f)/(partial r) hat(r) +1/r(partial f)/(partial vartheta ) hat(vartheta ) +(partial f)/(partial z) hat(k) $
-la matrice di deformazione è la parte simmetrica perciò faccio la decomposizione
$ E=1/2(H+H^t) $
infine ottengo la matrice E in questa forma
$ ( ( (partial u)/(partial r) , 1/2(1/r(partial u)/(partial vartheta )+(partial v)/(partial r )) , 1/2((partial u)/(partial z)+(partial w)/(partial r)) ),( 1/2(1/r(partial u)/(partial vartheta )+(partial v)/(partial r )) , (partial v)/(partial vartheta ) , 1/2((partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta )) ),( 1/2((partial u)/(partial z)+(partial w)/(partial r)) , 1/2((partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta )) , (partial w)/(partial z) ) ) $
ma non è giusta e non capisco dove sbaglio, il gradiente dello spostamento lo faccio come gradiente(in coordinate cilindriche) delle componenti e dispongo gli elementi in forma di matrice. La soluzione che ho trovato su altri appunti è questa:
$ E=( ( (partial u)/(partial r) , (1/r(partial u)/(partial vartheta ) +(partialv)/(partial r)-v/r ) , (partial w)/(partial r)+ (partial u)/(partial r) ),( (1/r(partial u)/(partial vartheta ) +(partialv)/(partial r)-v/r ) , 1/r((partial v)/(partial vartheta ) +u) , (partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta ) ),( (partial w)/(partial r)+ (partial u)/(partial r) , (partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta ) , (partial w)/(partial z) ) ) $
i calcoli li ho ricontrollati e sono giusti ma non capisco dove sbaglio e soprattutto come fanno a venire delle sottrazioni.
Il metodo di procedere è giusto e me lo ha anche confermato il professore solo che non mi ha controllato se la matrice era esatta.
vi sarei grato se riusciste a dirmi dove sbaglio e vi ringrazio in anticipo.
sono un nuovo membro del forum.
Avevo già pubblicato l'argomento sulla sezione di ingegneria ma non ho avuto risposta,pensandoci bene il mio dubbio è puramente matematico e di ingegneristico c'è poco perciò chiedo aiuto a voi.
Ho un problema nel ricavare il tensore di deformazione infinitesima in coordinate cilindriche dato un campo di spostamento espresso sempre in coordinate cilindriche.
il procedimento che ho seguito è questo:
-dal campo di spostamento,faccio il gradiente e ricavo la matrice dei gradienti di spostamento
(gradiente in coordinate cilindriche).
campo di spostamento: $ vec(u) =u hat(r) +v hat(vartheta ) +w hat(z) $
a cui applico il gradiente:
$ grad f=(partial f)/(partial r) hat(r) +1/r(partial f)/(partial vartheta ) hat(vartheta ) +(partial f)/(partial z) hat(k) $
-la matrice di deformazione è la parte simmetrica perciò faccio la decomposizione
$ E=1/2(H+H^t) $
infine ottengo la matrice E in questa forma
$ ( ( (partial u)/(partial r) , 1/2(1/r(partial u)/(partial vartheta )+(partial v)/(partial r )) , 1/2((partial u)/(partial z)+(partial w)/(partial r)) ),( 1/2(1/r(partial u)/(partial vartheta )+(partial v)/(partial r )) , (partial v)/(partial vartheta ) , 1/2((partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta )) ),( 1/2((partial u)/(partial z)+(partial w)/(partial r)) , 1/2((partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta )) , (partial w)/(partial z) ) ) $
ma non è giusta e non capisco dove sbaglio, il gradiente dello spostamento lo faccio come gradiente(in coordinate cilindriche) delle componenti e dispongo gli elementi in forma di matrice. La soluzione che ho trovato su altri appunti è questa:
$ E=( ( (partial u)/(partial r) , (1/r(partial u)/(partial vartheta ) +(partialv)/(partial r)-v/r ) , (partial w)/(partial r)+ (partial u)/(partial r) ),( (1/r(partial u)/(partial vartheta ) +(partialv)/(partial r)-v/r ) , 1/r((partial v)/(partial vartheta ) +u) , (partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta ) ),( (partial w)/(partial r)+ (partial u)/(partial r) , (partial v)/(partial z) +1/r(partial w)/(partial vartheta ) , (partial w)/(partial z) ) ) $
i calcoli li ho ricontrollati e sono giusti ma non capisco dove sbaglio e soprattutto come fanno a venire delle sottrazioni.
Il metodo di procedere è giusto e me lo ha anche confermato il professore solo che non mi ha controllato se la matrice era esatta.
vi sarei grato se riusciste a dirmi dove sbaglio e vi ringrazio in anticipo.
Risposte
E ma dovresti dire cos'è $H$. Sicuramente sarà una notazione standard presso gli ingegneri ma io non so cosa sia. (Comunque prova a vedere se lo trovi sull'Itskov "Tensor algebra and tensor analysis for engineers")
si scusami hai ragione!!!.... $ H $ è il gradiente del campo di spostamento che ho indicato con $ vec(u) $
applico il gradiente al campo di spostamento:
\( H= \bigtriangledown \overrightarrow{u} \)
correggetemi se sbaglio, il gradiente di un campo vettoriale è il gradiente delle componenti ,perciò la matrice che mi esce fuori è questa:
\( H= \bigtriangledown \overrightarrow{u} =\begin{pmatrix} \frac{\partial^{}u}{\partial r} & \frac{1\partial^{}u}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}u}{\partial z} \\ \frac{\partial^{}v}{\partial r} & \frac{1\partial^{}v}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}u}{\partial z} \\ \frac{\partial^{}w}{\partial r}& \frac{1\partial^{}w}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}w}{\partial z} \end{pmatrix} \)
applico il gradiente al campo di spostamento:
\( H= \bigtriangledown \overrightarrow{u} \)
correggetemi se sbaglio, il gradiente di un campo vettoriale è il gradiente delle componenti ,perciò la matrice che mi esce fuori è questa:
\( H= \bigtriangledown \overrightarrow{u} =\begin{pmatrix} \frac{\partial^{}u}{\partial r} & \frac{1\partial^{}u}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}u}{\partial z} \\ \frac{\partial^{}v}{\partial r} & \frac{1\partial^{}v}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}u}{\partial z} \\ \frac{\partial^{}w}{\partial r}& \frac{1\partial^{}w}{r\partial \vartheta } & \frac{\partial^{}w}{\partial z} \end{pmatrix} \)
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