Tema d'esame -Analisi 1

[Camillo]

Propongo uno degli esercizi d'esame del corso di Analisi 1 a Unimi del 5/5/14.
Data la funzione
$f(x)= cos(pi/(2x))*(log x)^(-1)$ per $x in(0,1)U (1,+oo)$
$= a $ per $x=1$

1)che valore va dato ad $a $ perché la funzione sia continua in $x=1 $
2) La funzione così ottenuta è derivabile in $x=1 $ ? Se sì che valore assume $f '(1) $?
Per la prima domanda si ottiene facilemnte il valore $a=pi/2$
La seconda domanda mi risulta più difficoltosa , anche se ritengo la risposta sia affermativa e la derivata valga $-pi/4$.
Chi trova un metodo ragionevolmente semplice per dare la risposta a questa domanda ?

[Epimenide93]

Calcolando a mano le derivate destra e sinistra come limiti dei rapporti incrementali dalle due direzioni a me risultano essere uguali (ergo la funzione è derivabile in quel punto). Tuttavia il valore di tale derivata mi risulta essere \(- \frac{\pi}{2}\), ma è possibile che mi sia perso un \(2\) da qualche parte. Richiede qualche calcolo, ma mi sembra un metodo ragionevolmente semplice.

[Epimenide93]

I conti:

\[
\begin{split}
\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left [ \cos \left ( \frac{\pi}{2(1+h)} \right ) \cdot \frac{1}{\log(1+h)} - \frac{\pi}{2} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} \left [ - \sin \left ( \frac{\pi h}{2(1+h)} \right ) \cdot \frac{1}{h^2} - \frac{\pi}{2 h} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} \left [ - \frac{\pi h}{2(1+h)} \cdot \frac{1}{h^2} - \frac{\pi}{2 h} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} - \frac{\pi}{2(1+h)} = - \frac{\pi}{2}
\end{split}
\]

\[
\begin{split}
\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left [ \cos \left ( \frac{\pi}{2(1-h)} \right ) \cdot \frac{1}{\log(1-h)} - \frac{\pi}{2} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} \left [ \sin \left ( \frac{\pi h}{2(1-h)} \right ) \cdot \left ( - \frac{1}{h^2} \right ) - \frac{\pi}{2 h} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} \left [ - \frac{\pi h}{2(1-h)} \cdot \frac{1}{h^2} - \frac{\pi}{2 h} \right ] = \\
= \lim_{h \to 0} - \frac{\pi}{2(1-h)} = - \frac{\pi}{2}
\end{split}
\]

[Camillo]

Epimenide 93, non mi sono tanto chiari i tuoi passaggi nei conti

[Epimenide93]

Ho usato la relazione \(\cos(x) = \sin(x - \pi/2) = - \sin(\pi/2 - x)\) ed il fatto che a meno di infinitesimi di ordine superiore, intorno a zero \(\sin y\) è approssimabile con \(y\) e \(\log(1+x)\) con \(x\).

[Brancaleone1]

Il punto 1 mi torna: $a=pi/2$

Al punto 2 calcolo così (prima McLaurin e dopo Hopital):

\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {1 + h} \right) - f\left( 1 \right)}}{h} = \frac{{\frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{{2\left( {1 + h} \right)}}} \right)}}{{\ln \left( {1 + h} \right)}} - \frac{\pi }{2}}}{h} = \frac{{\frac{{\frac{\pi }{2}\left( {1 - h} \right)}}{{1 - \frac{h}{2}}} - \frac{\pi }{2}}}{h} = \]

\[ = \frac{{ - \frac{\pi }{2}\left( {1 - \frac{h}{2}} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\frac{\pi }{2}\left( {1 - h} \right)} \right]}}{{{{\left( {1 - \frac{h}{2}} \right)}^2}}} = - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4}\]

[Epimenide93]

Vero, il mio sviluppo del logaritmo è indebito.

[Camillo]

Il calcolo del limite del rapporto incrementale non è in effetti così ostico come mi era sembrato al momento, anche se richiede tempo e specialmewnte la giusta "illuminazione ".
In mancanza di quest'ultima ero passato a metodi "meccanici", leggi Derive
Vorrei fare un discorso più ampio, indicando il tema d'esame completo composto di 6 esercizi +1 Bonus a questo indirizzo:
http://users.mat.unimi.it/users/cecilia ... 2014_9.pdf

Non conosco il tempo assegnato per lo svolgimento dello scritto ma sarà 2 ore, non penso di più ; se così fosse mi sembra un po' stretto.
Mi aspettavo, per un tema di esame di Analisi 1 -CdL di Matematica prove più impegnative da un punto di vista teorico/concettuale.
Certamente la conoscenza della teoria verrà approfondita e sondata all'orale...
Chi volesse dare un'occhiata e magari una valutazione più completa ecco altri temi d'esame , dello stesso CdL -Milano via Saldini -prof.Cavaterra):
http://users.mat.unimi.it/users/cecilia ... FINALE.pdf
http://users.mat.unimi.it/users/cecilia ... FINALE.pdf

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[Camillo]

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[ciampax]

A me pare un compito abbastanza "classico", anche se forse troppo "tecnico" e poco "ragionato" per un corso di laurea in matematica. In effetti è molto simile, per molti versi, a quelli che somministro io ad ingegneria a Matera, per un corso di Analisi da 12 CFU, per cui...