Taylor funzoni implicite
Salve a tutti, purtroppo mi trovo in difficoltá con molti esercizi che chiedono di calcolare lo sviluppo di Taylor di funzioni implicite.
Vi posto un esercizio di esempio:
Sia data l equazione: $z + (2y^2 + sin x)e^z = 0$ verificare che essa definisce in forma implicita una ed una sola funzione $z = f(x,y)$ in un intorno di $P = (0,0,0)$. Successivamente calcolare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine per $f$ centrato in $(0,0)$
Per quanto riguarda l'analisi preliminare non ho problemi a verificare il teorema del Dini, peró non so proprio come procedere per ricavare lo sviluppo di Taylor.
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi a capire come procedere con questo tipo di esercizi. Grazie
Vi posto un esercizio di esempio:
Sia data l equazione: $z + (2y^2 + sin x)e^z = 0$ verificare che essa definisce in forma implicita una ed una sola funzione $z = f(x,y)$ in un intorno di $P = (0,0,0)$. Successivamente calcolare lo sviluppo di Taylor al secondo ordine per $f$ centrato in $(0,0)$
Per quanto riguarda l'analisi preliminare non ho problemi a verificare il teorema del Dini, peró non so proprio come procedere per ricavare lo sviluppo di Taylor.
Spero che qualcuno di voi possa aiutarmi a capire come procedere con questo tipo di esercizi. Grazie
Risposte
lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine per funzioni di due variabili è:
quindi ti basta trovare gli ingredienti che ti servono derivando la tua funzione tenendo presente che $z=f(x,y)$ dipende da entrambe le variabili.
$ f = f(P)+ f_x (P) (x-x_P) +f_y (P) (y-y_P) +1/2[f_(x x)(P)(x-x_P)^2 + f_(xy)(P)(x-x_P) (y-y_P)+f_(y y)(P)(y-y_P)^2] $
quindi ti basta trovare gli ingredienti che ti servono derivando la tua funzione tenendo presente che $z=f(x,y)$ dipende da entrambe le variabili.
Grazie mille per la risposta, quindi devo semplicemente guardare le derivazioni che ci sono nella formula che hai postato e derivare l equazione che mi viene assegnata? Rispetto alla variabile $z$ come devo comportarmi? Potresti farmi solo un piccolissimo esempio cosi da capire come procedere? Grazie ancora
per derivare ti consiglio di sostituire z con f(x,y), che è poi ciò che dice il teorema del Dini. in pratica poni il caso di avere la funzione:
$ z^2+6y+4= f^2+6y+4=0 $ dove $f= f(x,y)$ per semplicità di notazione.
cerchiamo allora la derivata parziale rispetto ad x. deriviamo quindi la funzione:
$ partial/(partial x) (f^2+6y+4)= 2 ff_x=0 $
cerchiamo allora la derivata parziale rispetto ad y:
$ partial/(partial y) (f^2+6y+4)= 2 ff_y+6=0 $
a questo punto sostituisci il punto ed isoli l'incognita che cerchi. tieni presente che il teorema del Dini ti dice quanto vale la funzione nel punto che ti interessa, quindi le uniche incognite sono appunto le due derivate parziali che cercavamo.
$ z^2+6y+4= f^2+6y+4=0 $ dove $f= f(x,y)$ per semplicità di notazione.
cerchiamo allora la derivata parziale rispetto ad x. deriviamo quindi la funzione:
$ partial/(partial x) (f^2+6y+4)= 2 ff_x=0 $
cerchiamo allora la derivata parziale rispetto ad y:
$ partial/(partial y) (f^2+6y+4)= 2 ff_y+6=0 $
a questo punto sostituisci il punto ed isoli l'incognita che cerchi. tieni presente che il teorema del Dini ti dice quanto vale la funzione nel punto che ti interessa, quindi le uniche incognite sono appunto le due derivate parziali che cercavamo.
Grazie mille, ho capito alla perfezione e sono riuscito a risolvere l esercizio. L unico dubbio che mi rimane riguarda la fine dello sviluppo, come faccio a capire se devo mettere $o(x^2+y^2)$ o altro? 
Devo ragionare come se fosse $o((sqrt(x^2+y^2))^n)$ giusto?
giusto mi sono dimenticato dell'o-piccolo: $o((x-x_P)^2+(y-y_P)^2)$
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