Taylor di un integrale

[vl4dster]

uhm, di sicuro c'e' qualcosa che mi sfugge, ma come scrivo il polinomio di taylor al secondo ordine nell'origine di:

$f(x) = \int_{0}^(x^2)1/(1+t^5)dt$

non riesco neanche a valutare l'integrale... ma credo non serva...boh

confido in voi dato che e' un tema d'esame

[cavallipurosangue]

In generale il polinomio di Taylor é:
$P_n(x)-o(x^n)=\sum_{k=0}^nf^{(k)}(x_0){(x-x_0)^k}/{k!}$
In questo caso quindi, essendo $f'(x)=2x1/{1+x^{10}}$:
$P_2(0)=f(0)+f'(0)(x-0)+f''(0)(x-0)^2/2+o(x^2)=\int_0^0 1/(1+t^5)dt+0+2/2x^2=x^2+o(x^2)

[Andrea2976]

Ciao,

provo ad accennarti la soluzione.
La tua f è una funzione integrale e la variabile è sempre la x, quindi se sei nelle giuste ipotesi (f derivabile almeno due volte, e lo è) si ha:
f(x)=f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)+...

Il tuo problema immagino sia calcolare le derivate.
f(0)=0;
f'(0)=?

Ora basta usare il "Teorema fondamentale del calcolo integrale" e il gioco è fatto.
Quindi:
f'(0)=(la funzione integranda calcolata nell'estremo per la derivata dell'estremo)(x_0=0)
(derivata della funzione composta)

Il resto segue da se...

Spero di essere stato comprensibile!

[vl4dster]

grazie, il mio problema era proprio valutare la derivata prima, non avevo pensato che in effetti e' tutto in funzione di $x^2$ e quindi mi rimane
$D[f(x^2)] = 2x(1/(1+(x^2)^5))$ (giusto?)

dubbio:
e se l'estremo inferiore dell'integrale fosse stato anch'esso un'espressione in $x$?

[mircoFN1]

Se

$F(t)$ è una primitiva di $f(t)$ (quindi $f(t)=(dF(t))/dt$ )

allora:

$\int_{a(x)}^(b(x))f(t)dt= F(a(x)) -F(b(x)) $

da cui ...

[vl4dster]

$(2x-1)(1/(1+x^10) - 1/(1+x^5))$ (estremo inferiore dell'integrale $x$, estremo superiore il solito $x^2$)

e' un eresia?

[mircoFN1]

Sicuramente non è un'eresia (in particolare dolciniana)!
Inoltre, mi sembra anche corretto.

ciao

[vl4dster]

in questo caso allora mi torna tutto, grazie $1000*10^1000$ a tutti per la rapidita'

[mircoFN1]

"vl4d":in questo caso allora mi torna tutto, grazie $1000*10^1000$ a tutti per la rapidita'

$1000*10^1000=10^1003$ potevi risparmiare spazio

ciao

[vl4dster]

$(2x-1)(1/(1+x^10) - 1/(1+x^5))$

pensandoci meglio credo che sia: $(((2x)1)/(1+x^10)) - (((1)1)/(1+x^5))$

dato che:
$D\int_{a(x)}^(b(x)) f'(t)dt = D [f(b(x)) - f(a(x))] = D[b(x)]f'(b(x)) - D[a(x)]f'(a(x))$

puo' andare?

[mircoFN1]

Hai ragione, avevo anch'io raccolto in modo affrettato.

ciao

[Sk_Anonymous]

La soluzione del problema è assai agevolata se si ricorda la nota identità...

$1/(1+a)= 1-a+a^2-a^3+... = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n* a^n$ (1)

... la quale è valida per $-1
$1/(1+t^5)= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * t^(5n)$ (2)

Integrando per serie si trova...

$int_0^(x^2) 1/(1+t^5)* dt = sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n * int_0^(x^2) t^(5n) dt=$

$= sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(5*n+1)* x^(10*n+2)$ (3)

Da notare che la serie (3) è anch'essa convergente per $-1

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature