Taylor che non funziona??

[Cantaro86]

Forse è una cosa banale... ma non riesco a capire il motivo per cui in questo caso Taylor non funziona...
Taylor mi dice che una funzione può essere scritta come $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ dove $R_n(x)$ è il resto.

ma se prendo questa funzione qui $f(x)=e^(-1/(x^2))$ e la sviluppo in un intorno dello 0

vedo che nello 0 vale 0 e ha tutte le derivate nulle...questo vuol dire che il polinomio per quanto n possa aumentare non approssimerà mai la funzione...

che si fa???

Grazie

[Camillo]

La funzione $f(x) $ non è definita per $ x=0 $

[Cantaro86]

ecco dove stava il problema!!
grazie!!!

chiedo ancora una cosa....
perchè non è definita in 0???

[pat871]

Hai scelto proprio una funzione che anche se si può prolungare per continuità in 0, essa non è analitica, cioè non è esprimibile come serie di Taylor!
Infatti come hai notato tutte le derivate fanno 0. E quindi la serie converge verso 0, che però non è la funzione cercata!
Non è possibile fare niente purtroppo, esistono funzioni che non possono essere sviluppate in serie di Taylor in un dato punto, anche se continue e infinitamente derivabili.
Ciao!

[Cantaro86]

domanda stupida... mi sono gia risposto da solo grazie

[Cantaro86]

"Camillo":La funzione $f(x) $ non è definita per $ x=0 $

e se prendessi la funzione g(x)= 0 se x=0 , f(x) se x è diverso da 0 ???

[pat871]

"Cantaro86":[quote="Camillo"]La funzione $f(x) $ non è definita per $ x=0 $

e se prendessi la funzione g(x)= 0 se x=0 , f(x) se x è diverso da 0 ???[/quote]

Anche se prolunghi la funzione in modo che sia continua, continuerai ad avere che i termini successivi della derivata in zero si annullano. La funzione perciò non è esprimibile in serie di Taylor in 0.
Ciao!

[Cantaro86]

ok grazie...
solo che mi sembra strano che una formula matematica che dovrebbe valere per ogni funzione, che verifica determinate ipotesi, possa non funzionare....

[gugo82]

"Cantaro86":ok grazie...
solo che mi sembra strano che una formula matematica che dovrebbe valere per ogni funzione, che verifica determinate ipotesi, possa non funzionare....

La formula di Taylor non vale per ogni funzione!
Infatti, possiamo enunciare il teorema di Taylor in questo modo:

Siano $Isubseteq RR$ un intervallo, $f:Irarr RR$ ed $x_0 in I$ (per comodità supponiamo che $x_0$ sia interno ad $I$).
Se esiste un intorno $U_(x_0)subseteq I$ in ogni punto del quale $f$ sia $n ge 0$ volte derivabile e se $f$ è derivabile $n+1$ volte in $x_0$, allora la differenza $R_n(x)$ (definita in $U_(x_0)$) tra $f$ ed il polinomio di Taylor di grado $n$ e centro $x_0$ relativo ad $f$:

$P_n(x)=\sum_(k=0)^n(f^((k))(x_0))/(k!)*(x-x_0)^k$

o è identicamente nulla oppure è infinitesima in $x_0$ d'ordine superiore rispetto ad $(x-x_0)^(n+1)$, ossia risulta:

$lim_(xrarr x_0)(R_n(x))/((x-x_0)^(n+1))=0$.

La rappresentazione $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ della funzione $f$ come somma di un polinomio di grado al più $n$ e di una funzione infinitesima in $x_0$ d'ordine superiore ad $(x-x_0)^((n+1))$ viene detta formula di Taylor d'ordine $n$ e centro $x_0$ (relativa ad $f$).

In paricolare, è da notare che la formula di Taylor fornisce un'approssimazione locale (cioè intorno ad $x_0$) di una funzione di classe $C^(n+1)$ con un polinomio di grado al più pari ad $n$.
Alla luce dell'enunciato vedi che:

a) Per la funzione di classe $C^(oo)(RR)$:

$f(x)=\{(e^(-1/(x^2)), " se " x!=0),(0, " se " x=0):}$

fissato $x_0=0$, hai per ogni $nge 0$ $P_n(x)=0$ ed $R_n(x)=f(x)-P_n(x)=f(x)$ ed la funzione $R_n(x)$ è un infinitesimo in $0$ d'ordine infinitamente grande: per tanto la formula di Taylor vale in questo caso.

b) Per la funzione di classe $C(RR)$:

$f(x)=\{(0, " se " xle 0),(x, " se " xge 0) :}$

fissato $x_0=0$, non puoi applicare la formula di Taylor di nessun ordine perchè in $0$ è discontinua la derivata prima di $f$ (difatti risulta $f'(x)=\{(0, " se " x<0),(1, " se " x>0):}$).

Come faceva notare qualcuno in precedenza, la funzione dell'esempio a) ti dà il classico esempio di funzione indefinitamente deivabile ma non analitica: questa è un'altra storia, dato che coinvolge il problema della sviluppabilità in serie di potenze e le serie di potenze sono cosa diversa dai polinomi che compaiono nelle formule di Taylor.

[Cantaro86]

grazie per la chiarezza!!!!