Tangente di un numero complesso

[kapooo-votailprof]

Il problema è semplice ma non ne vengo a capo. Come si calcola la tangente di un numero complesso ovvero $tan(z) = ??$

Chiedo questo perchè in un equazione complessa alla fine arrivo ad avere un $cos(z)/sin(z)=2/(1+i)$ ovvero $tan(z)=(1+i)/2$ e poi come si prosegue come si trovano le soluzioni??

Potrei fare anche $z=arctg((1+i)/2)$ ma il problema rimarabbe dato che non saprei l'arco tangente di un numero complesso.

Grazie gente

[elgiovo]

In campo complesso, l'arcotangente si definisce così: $tan^(-1)(z)=i/2[ln(1-iz)-ln(1+iz)]$.

[kapooo-votailprof]

Grazie ma il mio problema è proprio trovare z

[elgiovo]

Hai fatto confusione tra la $z$ che compare nella tua equazione e quella che compare nella definizione dell'arcotangente.
Quello che ho scritto io vale per qualsiasi $z$ in $CC$, eccezion fatta per i "branch cut" $(-i oo, -i]$ e $[i,ioo)$ che impediscono alla
funzione di assumere più valori. Tornando pertanto alla tua equazione, potresti lasciare il risultato nella forma di arcotangente,
oppure riscriverlo come $tan^(-1)(1/2+i/2)=i/2{ln[1-i(1/2+i/2)]-ln[1+i(1/2+i/2)]}=1/2 tan^(-1)(1/3)+pi/8+i/4 ln5$.

[Sk_Anonymous]

Io partirei dalla definizione di tan(z) nel campo complesso:
$tan(z)=1/j*(e^(2jz)-1)/(e^(2jz)+1)$
Si ha quindi l'eguaglianza:
$1/j*(e^(2jz)-1)/(e^(2jz)+1)=1/2+1/2j$ da cui con qualche calcolo si ricava che:
$e^(2jz)=(1+j)/(3-j)=1/5+2/5j=(sqrt5)/5e^(j(arccos((sqrt5)/5)+2kpi))$ con $k in Z$
Pertanto risulta:
$z=1/(2j)*ln((sqrt5)/5)+1/2arccos((sqrt5)/5)+kpi=[kpi+1/2arccos((sqrt5)/5)]+j*[1/4*ln 5]$
sempre con $k in Z$
Ciao.