Tagli nel piano complesso
SAlve ragassuoli, sono tornato per fareuna domandina.
Riguarda le funzioni polidrome di variabile complessa e a valori complesse (radici, logaritmo...) e sui tagli da farsi per renderle monodrome, o comunque per varie applicazioni tipo integrali ecc...
Ho ultimamente un po' di confusione in testa perchè ho sentito 2 versioni della faccenda.
Prendiamo ad esempio la radice quadrata.
La prima in breve e rozzamente era quella che dato un numero complesso in coordinate pollari $\rho e^{i\theta}$, si prende come ramo principale della radice quadrata ad esempio $\sqrt \rho e^{i\theta/2}$. Si fa un taglio ad esempio sul semiasse positivo per bloccare l'argomento da o a $2\pi$.
Questo però significa ad esempio che $\sqrt(z^2)=\sqrt(\rho^2e^{i2\theta})=\rho e^{i\theta}=z$, e in questa funzione non si avrebbero tagli. Stesso dicasi anche per $cos \sqrt(z)$...
Vediamo che però questa $\sqrt(z^2)=z$ non coincide con la funzione nei numeri reali, dove si ha $\sqrt(x^2)=|x|$.Ed è da qui che nasce la seconda versione che ho sentito in questi giorni e che ha distrutto quelle che erano le mie (poche) certezze.
Se io blocco l'argomento di z tra $0$ e $2\pi$, infatti, avrò uan dscontinuità della radice sul semiasse positivo reale.
Se voglio che l'argomento della radice sia in questo intervallo, allora nel caso di $\sqrt(z^2)$ si avrebbe $0<=arg z^2=2\theta<2\pi$, ovvero $0<=\theta<\pi$ e quindi questo significherebbe avere un taglio su tutto l'ase reale, ovveroil piano complesso tagliato in due. Su tutta questa linea c'è la discontinuità della funzione $\sqrt(z^2)$.
Questo ha un suo perchè: se voi immaginate per esempio di prendere un numero complesso il cui argomento è un $\epsilon$ "un po' più grande di 0" e lo elevate al quadrato, otterrete un numero che si trova sempre un po' più sopra all'asse reale positivo, e dividendo l'argomento (che sarà $2\epsilon$),per due con la radice tornate al numero di prima. Se voi invece prenedte un numero un po' sotto l'asse reale positivo (nella parte immaginaria negativa tanto per intenderci), e ne fate il quadrato ottenete un numero "un po' più sotto". Ora però, avendo vincolato gli argomenti ad esser compresi tra $0$ e $2\pi$, l'argomento di questo non sarà $-2\epsilon$, ma $2\pi-2\epsilon$. Facendo la radice quadrata quindi dividete l'argomento a metà e tornate questa volta a un numero complesso con argomento $\pi-\epsilon$, cioè un po' sopra il semiasse reale negativo. Quindi si vede bene come questa discontinuità ci sia. Analogo ragionamento intuitivo lo potete fare sulla discontinuità sul semiasse reale negativo.
Il bello di questa seconda versione è che così funziona bene il prolungamento analitico della funzione reale $\sqrt(x^2)=|x|$: infatti se voi prendete un numero reale, che avrà argomento 0, il suo quadrato avrà argomento ancora 0 e la radice pure. Ma se lo prendete negativo (con argomento $\pi$ quindi), il suo quadrato avrà argomento $0$ e non $2\pi$ per la scelta che abbiamo fatto, e quindi la radice quadrata del quadrato sarà proprio -x, e poichè x era negativo equivale a dire |x|.
Naturalmente questa seconda versione che ho letto impedirebbe di effettuare i vari integrali coi residui coi punti di diramazione e i rami principali, perchè avete diciamo "molti tagli in più" rispetto alla prima versione e questo vi impedisce di passare col cammino attraverso queste discontinuità perchè così non potete più applicare il teorema di cauchy e dei residui.
E poi c'è anche la questione dei punti di diramazione: la funzione $\sqrt(z^2)$ avendo il taglio su tutto l'asse reale ad esempio, che cavolo di punti di diramazione ha, se come punti di diramazione intendo quelli attorno a cui non si può girare intorno? perchè nella prima versione non ha punti di diramazione?
Domanda: qual è la giusta? Ditemi voi e illuminatemi sui perchè.
Riguarda le funzioni polidrome di variabile complessa e a valori complesse (radici, logaritmo...) e sui tagli da farsi per renderle monodrome, o comunque per varie applicazioni tipo integrali ecc...
Ho ultimamente un po' di confusione in testa perchè ho sentito 2 versioni della faccenda.
Prendiamo ad esempio la radice quadrata.
La prima in breve e rozzamente era quella che dato un numero complesso in coordinate pollari $\rho e^{i\theta}$, si prende come ramo principale della radice quadrata ad esempio $\sqrt \rho e^{i\theta/2}$. Si fa un taglio ad esempio sul semiasse positivo per bloccare l'argomento da o a $2\pi$.
Questo però significa ad esempio che $\sqrt(z^2)=\sqrt(\rho^2e^{i2\theta})=\rho e^{i\theta}=z$, e in questa funzione non si avrebbero tagli. Stesso dicasi anche per $cos \sqrt(z)$...
Vediamo che però questa $\sqrt(z^2)=z$ non coincide con la funzione nei numeri reali, dove si ha $\sqrt(x^2)=|x|$.Ed è da qui che nasce la seconda versione che ho sentito in questi giorni e che ha distrutto quelle che erano le mie (poche) certezze.
Se io blocco l'argomento di z tra $0$ e $2\pi$, infatti, avrò uan dscontinuità della radice sul semiasse positivo reale.
Se voglio che l'argomento della radice sia in questo intervallo, allora nel caso di $\sqrt(z^2)$ si avrebbe $0<=arg z^2=2\theta<2\pi$, ovvero $0<=\theta<\pi$ e quindi questo significherebbe avere un taglio su tutto l'ase reale, ovveroil piano complesso tagliato in due. Su tutta questa linea c'è la discontinuità della funzione $\sqrt(z^2)$.
Questo ha un suo perchè: se voi immaginate per esempio di prendere un numero complesso il cui argomento è un $\epsilon$ "un po' più grande di 0" e lo elevate al quadrato, otterrete un numero che si trova sempre un po' più sopra all'asse reale positivo, e dividendo l'argomento (che sarà $2\epsilon$),per due con la radice tornate al numero di prima. Se voi invece prenedte un numero un po' sotto l'asse reale positivo (nella parte immaginaria negativa tanto per intenderci), e ne fate il quadrato ottenete un numero "un po' più sotto". Ora però, avendo vincolato gli argomenti ad esser compresi tra $0$ e $2\pi$, l'argomento di questo non sarà $-2\epsilon$, ma $2\pi-2\epsilon$. Facendo la radice quadrata quindi dividete l'argomento a metà e tornate questa volta a un numero complesso con argomento $\pi-\epsilon$, cioè un po' sopra il semiasse reale negativo. Quindi si vede bene come questa discontinuità ci sia. Analogo ragionamento intuitivo lo potete fare sulla discontinuità sul semiasse reale negativo.
Il bello di questa seconda versione è che così funziona bene il prolungamento analitico della funzione reale $\sqrt(x^2)=|x|$: infatti se voi prendete un numero reale, che avrà argomento 0, il suo quadrato avrà argomento ancora 0 e la radice pure. Ma se lo prendete negativo (con argomento $\pi$ quindi), il suo quadrato avrà argomento $0$ e non $2\pi$ per la scelta che abbiamo fatto, e quindi la radice quadrata del quadrato sarà proprio -x, e poichè x era negativo equivale a dire |x|.
Naturalmente questa seconda versione che ho letto impedirebbe di effettuare i vari integrali coi residui coi punti di diramazione e i rami principali, perchè avete diciamo "molti tagli in più" rispetto alla prima versione e questo vi impedisce di passare col cammino attraverso queste discontinuità perchè così non potete più applicare il teorema di cauchy e dei residui.
E poi c'è anche la questione dei punti di diramazione: la funzione $\sqrt(z^2)$ avendo il taglio su tutto l'asse reale ad esempio, che cavolo di punti di diramazione ha, se come punti di diramazione intendo quelli attorno a cui non si può girare intorno? perchè nella prima versione non ha punti di diramazione?
Domanda: qual è la giusta? Ditemi voi e illuminatemi sui perchè.
Risposte
Cia0 ragassuolo! 
Due note piccoline:
1) essendo [tex]$\rho\geq0$[/tex] allora [tex]$\sqrt{\rho^2}=\rho$[/tex];
2) volendo che [tex]$0\leq2\theta<2\pi\Rightarrow0\leq\theta<\pi$[/tex];
quindi... Dato che non ho letto tutto, in quanto stavo perdendo le mie certezze sulla radice quadrata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], non saprei dirti quanto possa essere stato di aiuto!
Due note piccoline:
1) essendo [tex]$\rho\geq0$[/tex] allora [tex]$\sqrt{\rho^2}=\rho$[/tex];
2) volendo che [tex]$0\leq2\theta<2\pi\Rightarrow0\leq\theta<\pi$[/tex];
quindi... Dato che non ho letto tutto, in quanto stavo perdendo le mie certezze sulla radice quadrata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], non saprei dirti quanto possa essere stato di aiuto!
"antani":No, attenzione che "tagli solo il semiasse reale negativo"!
...$0<=\theta<\pi$ e quindi questo significherebbe avere un taglio su tutto l'ase reale...
No aspetta non sto capendo 
cosa intendi?
cosa intendi?
Forse è meglio se si riprende così: sappiamo che ogni numero complesso [tex]$z$[/tex] è scrivibile nella forma [tex]$\rho e^{i\theta}$[/tex] ove [tex]$i^2=-1;\,\rho\in[0;+\infty);\,\theta\in[0;2\pi)$[/tex], quindi [tex]$\sqrt{z}=\sqrt{\rho e^{i\theta}}=\sqrt{\rho}\sqrt{e^{i\theta}}=\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex] ottendo così che [tex]$\theta\in[0;\pi)$[/tex]; ma così ottieni solo una radice quadrata complessa di [tex]$z$[/tex], l'altra la ottieni con questo giochetto [tex]$\sqrt{z}=\sqrt{\rho e^{i\theta}}\sqrt{\rho e^{i(\theta+2\pi)}}=\sqrt{\rho}\sqrt{e^{i(\theta+2\pi)}}=\sqrt{\rho}e^{i\big(\frac{\theta}{2}+\pi\big)}$[/tex] ed ottenendo così che [tex]$\theta\in[\pi;2\pi)$[/tex].
Il taglio di cui tu parli è sull'argomento, cioè escludi che possa essere [tex]$\theta=2\pi$[/tex] altrimenti si ottiene la polidromia!
Il taglio di cui tu parli è sull'argomento, cioè escludi che possa essere [tex]$\theta=2\pi$[/tex] altrimenti si ottiene la polidromia!
Ok..ma quale delle due versioni che ho trovato è giusta? perchè ognuna delle due ha delle cose che non tornano...
Nessuna delle due! 
Non c'è nessuna discontinuità in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] per le radici, in particolare per quella quadrata; la confondi con la polidromìa(*). 
La prima versione è in discordia con il mio precedente post!
Per la seconda versione: scegliendo [tex]$z=e^{i\theta}\in\mathbb{C}\mid\theta\in\bigg[\frac{3}{2}\pi;2\pi\bigg)$[/tex] hai le due radici complesse [tex]$w_1=e^{i\frac{\theta}{2}};\,w_2=e^{\frac{\theta}{2}+\pi}=-e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex] ed elevando al quadrato entrambe ottieni sempre [tex]$z$[/tex], ove [tex]$\frac{\theta}{2}\in\bigg[\frac{3}{4}\pi;\pi\bigg)$[/tex]!
A mio avviso non hai svolto bene(?) i conti, oppure non riesco ancora a capire il tuo dubbio.
§§§
(*) Forse è meglio riprendere un pò come funziona la polidromìa della radice quadrata complessa!
Sempre per comodità rappresento [tex]$z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$[/tex], ripeto che le radici quadrate complesse di [tex]$z$[/tex] sono [tex]$\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex]; la radice quadrata complessa puoi vederla come una funzione del tipo [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\{\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\}\in\mathcal{P}_2(\mathbb{C})$[/tex](**) cosicché si spiega il nome di funzione polidròma, cioè a più rami, oppure così [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\in\mathbb{C}$[/tex] con la limitazione [tex]$\theta\in[0;2\pi)$[/tex] in modo da considerare il solo ramo principale. Senza la precedente limitazione si confonde la polidromìa con una inesistente discontinuità lungo una qualsiasi semiretta nel piano complesso con origine in [tex]$0+i\cdot0$[/tex].
EDIT (*) [tex]$\mathcal{P}_2(\mathbb{C})=\{\{w;z\}\in\mathcal{P}(\mathbb{C})\mid w;z\in\mathbb{C}\}$[/tex]
Non c'è nessuna discontinuità in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] per le radici, in particolare per quella quadrata; la confondi con la polidromìa(*). La prima versione è in discordia con il mio precedente post!
Per la seconda versione: scegliendo [tex]$z=e^{i\theta}\in\mathbb{C}\mid\theta\in\bigg[\frac{3}{2}\pi;2\pi\bigg)$[/tex] hai le due radici complesse [tex]$w_1=e^{i\frac{\theta}{2}};\,w_2=e^{\frac{\theta}{2}+\pi}=-e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex] ed elevando al quadrato entrambe ottieni sempre [tex]$z$[/tex], ove [tex]$\frac{\theta}{2}\in\bigg[\frac{3}{4}\pi;\pi\bigg)$[/tex]!
A mio avviso non hai svolto bene(?) i conti, oppure non riesco ancora a capire il tuo dubbio.
§§§
(*) Forse è meglio riprendere un pò come funziona la polidromìa della radice quadrata complessa!
Sempre per comodità rappresento [tex]$z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$[/tex], ripeto che le radici quadrate complesse di [tex]$z$[/tex] sono [tex]$\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex]; la radice quadrata complessa puoi vederla come una funzione del tipo [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\{\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\}\in\mathcal{P}_2(\mathbb{C})$[/tex](**) cosicché si spiega il nome di funzione polidròma, cioè a più rami, oppure così [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\in\mathbb{C}$[/tex] con la limitazione [tex]$\theta\in[0;2\pi)$[/tex] in modo da considerare il solo ramo principale. Senza la precedente limitazione si confonde la polidromìa con una inesistente discontinuità lungo una qualsiasi semiretta nel piano complesso con origine in [tex]$0+i\cdot0$[/tex].
EDIT (*) [tex]$\mathcal{P}_2(\mathbb{C})=\{\{w;z\}\in\mathcal{P}(\mathbb{C})\mid w;z\in\mathbb{C}\}$[/tex]
Sì ma la questione è che se tu definisci il ramo principale della radice qudrata complessa come $\sqrt \rho e^{i\theta/2}$ otterresti che $\sqrt(z^2)=z$ che non è vero per i numeri reali!
In verità se ragioni così ti trovi erroneamente che [tex]$\forall x\in\mathbb{R},\,\sqrt{x^2}=x$[/tex]! -_-
Fai i conti come si deve, per cortesia!
Fai i conti come si deve, per cortesia!
Cioè? Scusa non capisco...si hai scritto lo stesso che "erroneamente" trovavo io cmq...se la ottengo per tutti i complessi la ottengo anche per i reali. Usare la lettera z al posto di x fa forse differenza?
In verità non capisco se sei tu che non capisci quello che non capisco o se sono io che non ho capito..in ogni caso "rifatti i conti bene per cortesia" non è una risposta, se ho chiesto è perchè c'è qualcosa che non vedo o che non mi torna, non si tratta di un semplice segno meno dimenticato da qualche parte...
PS nel tuo post di prima prima fai la radice e poi elevi al quadrato...beh ricordo che nei numeri reali non è la stessa cosa fare $\sqrt(x^2)$ e $(\sqrt(x))^2$...
In verità non capisco se sei tu che non capisci quello che non capisco o se sono io che non ho capito..in ogni caso "rifatti i conti bene per cortesia" non è una risposta, se ho chiesto è perchè c'è qualcosa che non vedo o che non mi torna, non si tratta di un semplice segno meno dimenticato da qualche parte...
PS nel tuo post di prima prima fai la radice e poi elevi al quadrato...beh ricordo che nei numeri reali non è la stessa cosa fare $\sqrt(x^2)$ e $(\sqrt(x))^2$...
Vabbè, eccoti il conto: sia [tex]$z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\mid\rho\in[0;+\infty);\,\theta\in[0;2\pi)$[/tex], è [tex]$z^2=\rho^2e^{2i\theta}$[/tex] per cui se:
I) [tex]$\theta\in[0;\pi)\Rightarrow2\theta\in[0;2\pi)$[/tex] quindi [tex]$\sqrt{z^2}=\sqrt{\rho^2e^{2i\theta}}=\rho e^{i\theta}=z$[/tex];
II) [tex]$\theta\in[\pi;2\pi)\Rightarrow2\theta\in[2\pi;4\pi)$[/tex] sorgono i problemi con la radice quadrata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], volendo restare sul ramo principale di essa si nota che [tex]$\sqrt{z^2}=\sqrt{\rho^2e^{2i\theta}}=\sqrt{\rho^2e^{2i(\theta-\pi)}}=\rho e^{i(\theta-\pi)}=-z$[/tex], in quanto [tex]$2(\theta-\pi)\in[0;\pi),\,e^{-2i\pi}=1$[/tex];
ecco perché t'ho scritto di fare i conti.
Poi l'ho scritto più volte che non ho capito appieno il tuo dubbio\i tuoi dubbi!
P.S.: A cosa ti riferisci esattamente?
I) [tex]$\theta\in[0;\pi)\Rightarrow2\theta\in[0;2\pi)$[/tex] quindi [tex]$\sqrt{z^2}=\sqrt{\rho^2e^{2i\theta}}=\rho e^{i\theta}=z$[/tex];
II) [tex]$\theta\in[\pi;2\pi)\Rightarrow2\theta\in[2\pi;4\pi)$[/tex] sorgono i problemi con la radice quadrata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], volendo restare sul ramo principale di essa si nota che [tex]$\sqrt{z^2}=\sqrt{\rho^2e^{2i\theta}}=\sqrt{\rho^2e^{2i(\theta-\pi)}}=\rho e^{i(\theta-\pi)}=-z$[/tex], in quanto [tex]$2(\theta-\pi)\in[0;\pi),\,e^{-2i\pi}=1$[/tex];
ecco perché t'ho scritto di fare i conti.
Poi l'ho scritto più volte che non ho capito appieno il tuo dubbio\i tuoi dubbi!
P.S.: A cosa ti riferisci esattamente?
ecco ora siamo d'accordo 
ora domanda: se io ti chiedo "dove fai il taglio sulal funzione $\sqrt(z^2)$ tu cosa mi risponderesti? Mostrami tutti i passaggi e il ragionamento così capisco bene!Grazie mille 
ora domanda: se io ti chiedo "dove fai il taglio sulal funzione $\sqrt(z^2)$ tu cosa mi risponderesti? Mostrami tutti i passaggi e il ragionamento così capisco bene!Grazie mille
"j18eos":(#) Leggi taglio nel piano complesso!
... Non c'è nessuna discontinuità(#) in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] per le radici, in particolare per quella quadrata; la confondi con la polidromìa(*).
...
§§§
(*) Forse è meglio riprendere un pò come funziona la polidromìa della radice quadrata complessa!
Sempre per comodità rappresento [tex]$z=\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}$[/tex], ripeto che le radici quadrate complesse di [tex]$z$[/tex] sono [tex]$\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}$[/tex]; la radice quadrata complessa puoi vederla come una funzione del tipo [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\{\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}};\,-\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\}\in\mathcal{P}_2(\mathbb{C})$[/tex](**) cosicché si spiega il nome di funzione polidròma, cioè a più rami, oppure così [tex]$\sqrt{\cdot}:\rho e^{i\theta}\in\mathbb{C}\rightarrow\sqrt{\rho}e^{i\frac{\theta}{2}}\in\mathbb{C}$[/tex] con la limitazione [tex]$\theta\in[0;2\pi)$[/tex] in modo da considerare il solo ramo principale. Senza la precedente limitazione si confonde la polidromìa con una inesistente discontinuità(#) lungo una qualsiasi semiretta nel piano complesso con origine in [tex]$0+i\cdot0$[/tex].
EDIT (**) [tex]$\mathcal{P}_2(\mathbb{C})=\{\{w;z\}\in\mathcal{P}(\mathbb{C})\mid w;z\in\mathbb{C}\}$[/tex]
Mi sono autocitato; se così non lo capisci: il taglio lo devi eseguire alle vene del mio arto superiore destro.
Comunque è un piacere rispondere a domande come queste.
Mi sono autocitato; se così non lo capisci: il taglio lo devi eseguire alle vene del mio arto superiore destro.
Forse è meglio l'arto sinistro, comunque.
A te stavo aspettando, mi è venuta la malinconia dell'abbandono da parte tua ,ecco perché l'invito a tagliarmi le vene. Mi sono sentito criptico in questo thread!
,ecco perché l'invito a tagliarmi le vene. Mi sono sentito criptico in questo thread!
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