Svolgimento limite con o piccolo

[simone.montanari.92]

Non riesco a capire un passaggio nello svolgimento del prof di questo limite
$ lim_(x -> 0) (1/x^2-1/tan^2(x)) $

1_ $ lim_(x -> 0) ((tan^2x-x^2)/(x^2tan^2x)) $ Uso $ tanx=x+x^3/3+o(x^3) $ per il numeratore e $ tanx=x+o(x)$ per il denominatore e ottengo
2_ $ lim_(x->0)(((x+x^3/3+o(x^3))^2-x^2)/(x^2(x+o(x))^2)) $

3_ $ lim_(x->0)((x^2+x^6/9+o(x^6)+2/3x^4+o(x^4)+o(x^6)-x^2)/(x^4+o(x)^4)) $

a questo punto il prof scrive 4_ $ lim_(x->0)((2/3x^4+o(x^4))/(x^4+o(x)^4)) $ e infine
5_ $ lim_(x->0)((2/3+(o(x^4))/x^4)/(1+(o(x)^4)/x^4)) =2/3 $

il mio dubbio è nel passaggio tra 3 e 4...il $ x^6/9 $ dov'è finito??

spero mi possiate aiutare il prima possibile

[simone.montanari.92]

scusa ma non riesco a capire il nesso con $x^6/9$
comunque grazie per l'algebra, le avevo tutte tranne la d

p.s
se non si è capito ho qualche problema con analisi...geometria mi è sembrata molto più semplice

[simone.montanari.92]

ah ecco
in effetti stavo pensando che potesse essere quella la soluzione, ma non ne ero sicuro dato che il prof non ha accennato a tale cosa.
quindi qualsiasi x^m la posso ridurre a una o(x^n) con n

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[simone.montanari.92]

e non lo avrei potuto fare anche con il $2/3 x^4$ in qualche modo?
cioè lo ridurrei a $ 2/3o(x^4) $ ossia $o(x^4)$

[simone.montanari.92]

Ancora non abbiamo fatto Taylor in sè per sè, il prof ci ha giusto accennato questi o piccoli per facilitare la risoluzione dei limiti, non ha parlato di taylor
non ti ho chiesto il perchè di $o(x^4)$ e non $o(x^3)$ solo perchè avendoli fatti rapidamente per ora, ho pensato che il più piccolo $o$ è con $x^4$, il quale ingloba tutte le altre $x$ con esponente maggiore

ok, capito perfettamente(spero)
grazie mille!!

[simone.montanari.92]

Guarda, il prof non l'ha nominato taylor, io ho fatto il classico e queste cose sono la prima volta che le vedo. Ho sentito alcuni colleghi che l'hanno chiamato sviluppo di Taylor, però alzo le mani...comunque il prof ci ha dato alcuni sviluppi 'notevoli' come seno, coseno, tangente, logaritmo ed e e facciamo gli esercizi con questi per ora