Svolgimento EDO 2

[Obidream]

Salve a tutti, vorrei un chiarimento su questa EDO a variabili separabili...

$y'=e^(t)*e^(y)$

$(y')/e^(y)=e^(t)$

Prima di tutto osservo che $e^(y)>0 AA y in RR$

$int 1/e^(y) dy=int e^t dt$

Pongo $e^y=u$ da cui ricavo $y=log(u)$ e quindi $dy=(du)/u$

$int 1/u^2 du=-1/u$ e quindi $int 1/e^y dy=-1/e^y$

$-1/e^(y)=e^t +c$

$e^(-y)=-e^t-c$

$-y=log(-c-e^t)$

$y=-log(-c-e^t)$

Come dovrei proseguire??

[Brancaleone1]

Ma non è già finita?

$y=-ln(-e^t-c)$

$=>y'=-e^t/(e^t+c)$

che corrisponde a $y'=e^t cdot e^y$ iniziale, poiché dalla soluzione trovata si ha

$e^y=e^(-ln(-e^t-c))=e^(ln(-e^t-c)^(-1))=-1/(e^t+c)$

$=>y'=-e^t/(e^t+c)=e^t cdot (-1/(e^t+c))=e^t cdot e^y$

[Obidream]

Uhm la soluzione ufficiale risulta $y=-log(-e^t+c)$... però essendo una costante, il segno ha poca importanza in questo caso giusto?

[Brancaleone1]

Sì giusto

[Obidream]

grazie