Sviluppo Taylor centro diverso da zero
Buongiorno,
durante l'ultimo compito ho completamente sbagliato lo sviluppo di Taylor, ero convinto di averlo compreso invece in realtà non avevo capito nulla.
Sostanzialmente mi sono affidato agli "sviluppi pronti" delle principali funzioni....il problema è stato che che quelle erano centrate in $ x = 0$ .
Nel mio caso dovevo sviluppare invece una funzione centrata in $ x = 1 $.
Mi si chiedevano solo i primi tre termini dello sviluppo!!!!
$ (x) sin (pi/4 x) + cos (pi/2 x)$
Come prima cosa da dove parto?
Faccio tutto il percorso delle derivate? Oppure sostituisco subito alla $ x = 1 $ per cui considero la funzione di partenza come
$ (1) sin (pi/4 (1)) + cos (pi/2 (1))$ ???
Ho le idee piuttosto confuse, quindi mi basta una dritta tanto per cominciare con l'intento di arrivare gradualmente alla soluzione, altrimenti se non capisco il concetto/procedimento continuerò a sbagliare in eterno
Grazie MIlle come sempre.
durante l'ultimo compito ho completamente sbagliato lo sviluppo di Taylor, ero convinto di averlo compreso invece in realtà non avevo capito nulla.
Sostanzialmente mi sono affidato agli "sviluppi pronti" delle principali funzioni....il problema è stato che che quelle erano centrate in $ x = 0$ .
Nel mio caso dovevo sviluppare invece una funzione centrata in $ x = 1 $.
Mi si chiedevano solo i primi tre termini dello sviluppo!!!!
$ (x) sin (pi/4 x) + cos (pi/2 x)$
Come prima cosa da dove parto?
Faccio tutto il percorso delle derivate? Oppure sostituisco subito alla $ x = 1 $ per cui considero la funzione di partenza come
$ (1) sin (pi/4 (1)) + cos (pi/2 (1))$ ???
Ho le idee piuttosto confuse, quindi mi basta una dritta tanto per cominciare con l'intento di arrivare gradualmente alla soluzione, altrimenti se non capisco il concetto/procedimento continuerò a sbagliare in eterno
Grazie MIlle come sempre.
Risposte
Per lo sviluppo in serie di Taylor la formula è $ f(x) = \sum_(i=0)^(n-1) (f^(i)(x_0))/(i!)(x-x_0)^i +R(x) $ che vale per una funzione $ f:[a,b] -> \R$ con $x_0 \in (a,b) $, tale che f sia definita in un intorno di $x_0$ e che le sue derivate fino all'ordine n esistano in quell'intorno.
Hai seno e coseno, funzioni derivabili senza problemi, quindi devi solo applicare la formula!
Hai seno e coseno, funzioni derivabili senza problemi, quindi devi solo applicare la formula!
"404":
Per lo sviluppo in serie di Taylor la formula è $ f(x) = \sum_(i=0)^(n-1) (f^(i)(x)(x_0))/(i!)(x-x_0)^i +R(x) $
Non c'è una $x$ di troppo???
"404":
Hai seno e coseno [.....] devi solo applicare la formula!
Hai detto niente.
Provo intanto a sviluppare un esempio con $ sen (x) $ centrato in $ x = 1 $ poi vedo pian piano di evolvere....perchè è proprio la partenza che mi blocca
Ho iniziato a sviluppare $ sen(x)$ centrato in $ x = 1 $
Ottengo quindi:
$ sen (x) = sen (1) + cos (1)(x-1) - 1/2 sen (1)(x-1)^2 + ...... $
A questo punto avendo nel mio caso $pi/4 x$ anzichè $x$ non riesco a capire bene come procedere....
$ sen (pi/4x) = sen (1) + cos (1)(pi/4 x - 1) - 1/2 sen (1)(pi/4 x - 1)^2 + ...... $
E' corretto per caso?
Ottengo quindi:
$ sen (x) = sen (1) + cos (1)(x-1) - 1/2 sen (1)(x-1)^2 + ...... $
A questo punto avendo nel mio caso $pi/4 x$ anzichè $x$ non riesco a capire bene come procedere....
$ sen (pi/4x) = sen (1) + cos (1)(pi/4 x - 1) - 1/2 sen (1)(pi/4 x - 1)^2 + ...... $
E' corretto per caso?
Hai ragione sulla x di troppo! Modifico!
Attenzione alla derivata: $ D[sen(\pi/4x)] = \pi/4cos(\pi/4) $ per la regola delle funzioni composte!
A questo punto avendo nel mio caso π4x anzichè x non riesco a capire bene come procedere....
sen(π4x)=sen(1)+cos(1)(π4x−1)−12sen(1)(π4x−1)2+......
E' corretto per caso?
Attenzione alla derivata: $ D[sen(\pi/4x)] = \pi/4cos(\pi/4) $ per la regola delle funzioni composte!
Buongiorno,
forse ho capito come muovermi. Mi manca solo un pezzettino, ovvero se posso ragionare a compartimenti stagni tra $ x sen (pi/4 x)$ e $cos(pi/2 x)$ oppure devo derivarli insieme (direi che è il caso di andare a rivedere bene le regole di derivazione)!!!
Se non ricordo male la somma di due derivate è pari alla somma delle singole derivate, quindi in teoria posso ragionare anche a compartimenti stagni e poi unire le cose, ma non sono sicuro che la cosa sia un vantaggio.
Mi sembra di si, ma con queste cose mi lascio sempre il beneficio del dubbio
Appena oggi ho stilato qualcosa di sensato vedrò di sottoporlo al vostro giudizio
forse ho capito come muovermi. Mi manca solo un pezzettino, ovvero se posso ragionare a compartimenti stagni tra $ x sen (pi/4 x)$ e $cos(pi/2 x)$ oppure devo derivarli insieme (direi che è il caso di andare a rivedere bene le regole di derivazione)!!!
Se non ricordo male la somma di due derivate è pari alla somma delle singole derivate, quindi in teoria posso ragionare anche a compartimenti stagni e poi unire le cose, ma non sono sicuro che la cosa sia un vantaggio.
Mi sembra di si, ma con queste cose mi lascio sempre il beneficio del dubbio
Appena oggi ho stilato qualcosa di sensato vedrò di sottoporlo al vostro giudizio
Buongiorno, la situazione è in positiva evoluzione , sono infatti riuscito a concludere un semplice esercizio, ma già aver capito in poco tempo il meccanismo vale oro...quindi grazie..... 
Nello svolgere l'esercizio oggetto di questo thread ho però un problema legato alle regole di derivazione; nello specifico non riesco a capire come derivare tre funzioni tra loro legate, non tanto come prodotto semplice ma due come prodotto ed una composta
Ad esempio $ 2 x * sen x * e^x $ io valuterei come il prodotto di tre funzioni semplici per cui deriverei in questo modo:
$ (0x+2*1) * sen x * e^x + 2x * cos x * e^x + 2x * sen x * e^x = e^x 2 sen x + e^x 2x cosx + e^x 2x sen x = 2e^x(senx + xcosx + x senx) = 2e^x((x+1)senx+cosx)$
Il problema però è come mi devo comportare nel caso seguente? Mi infastidisce il $2x$ argomento del seno
\[ 2 x sen (2x)\]
Agirei in questo modo: $ D (2x + sen (2x)) = 2 sen(2x) + 2x cos (2x) * 2 = 2(sen(2x) + 2x cos(2x))$
Mi pare corretto
Nello svolgere l'esercizio oggetto di questo thread ho però un problema legato alle regole di derivazione; nello specifico non riesco a capire come derivare tre funzioni tra loro legate, non tanto come prodotto semplice ma due come prodotto ed una composta
Ad esempio $ 2 x * sen x * e^x $ io valuterei come il prodotto di tre funzioni semplici per cui deriverei in questo modo:
$ (0x+2*1) * sen x * e^x + 2x * cos x * e^x + 2x * sen x * e^x = e^x 2 sen x + e^x 2x cosx + e^x 2x sen x = 2e^x(senx + xcosx + x senx) = 2e^x((x+1)senx+cosx)$
Il problema però è come mi devo comportare nel caso seguente? Mi infastidisce il $2x$ argomento del seno
\[ 2 x sen (2x)\]
Agirei in questo modo: $ D (2x + sen (2x)) = 2 sen(2x) + 2x cos (2x) * 2 = 2(sen(2x) + 2x cos(2x))$
Mi pare corretto
Il problema però è come mi devo comportare nel caso seguente? Mi infastidisce il 2x argomento del seno
2xsen(2x)
Agirei in questo modo: D(2x+sen(2x))=2sen(2x)+2xcos(2x)⋅2=2(sen(2x)+2xcos(2x))
Mi pare corretto
Lo è! Anche la derivazione che hai scritto per $ 2x* sen(x) *e^x $ è corretta: basta considerare $sen(x)*e^x$ come un'unica funzione $g(x)$. Il tuo problema diventa: $D[2x*g(x)] = 2*g(x) + 2x*g'(x)$, che risolvi via via, indipendentemente da quante funzioni è composta $g(x)$, ogni volta levi un "pezzo" e continui fino ad esaurimento.
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