Sviluppo serie di Laurent
salve, ho molte incertezze sullo sviluppo in serie di Laurent, sulle dispense spiega teoria ma in quanto ad esempi è scarna.
Ad esempio, se ho una funzione del tipo \(\displaystyle \frac {e^{tghz}}{z} \), qual è il punto di partenza? Io vedo che c'è un punto singolare in z=0, la funzione al numeratore è olomorfa su tutto C, quindi potrebbe essere sviluppata in serie di Taylor, giusto? Ma oltre queste considerazioni non so andare, come faccio a determinare i coefficienti?? Help
Ad esempio, se ho una funzione del tipo \(\displaystyle \frac {e^{tghz}}{z} \), qual è il punto di partenza? Io vedo che c'è un punto singolare in z=0, la funzione al numeratore è olomorfa su tutto C, quindi potrebbe essere sviluppata in serie di Taylor, giusto? Ma oltre queste considerazioni non so andare, come faccio a determinare i coefficienti?? Help
Risposte
Euristicamente sviluppi in serie $e^{tanh(z)}$ e poi dividi lo sviluppo per $z$, ovvero ottieni
$e^{tanh(z)}=e^{z-\frac{1}{3}z^3+...}=1+(z-\frac{1}{3}z^3)+\frac{1}{2}(z-\frac{1}{3}z^3)^2+\frac{1}{3}(z-\frac{1}{3}z^3)^3...=1+z+\frac{1}{2}z^2-\frac{1}{6}z^3...$
diviso $z$ viene
$\frac{1}{z}+z+\frac{1}{2}z-\frac{1}{6}z^2...$
$e^{tanh(z)}=e^{z-\frac{1}{3}z^3+...}=1+(z-\frac{1}{3}z^3)+\frac{1}{2}(z-\frac{1}{3}z^3)^2+\frac{1}{3}(z-\frac{1}{3}z^3)^3...=1+z+\frac{1}{2}z^2-\frac{1}{6}z^3...$
diviso $z$ viene
$\frac{1}{z}+z+\frac{1}{2}z-\frac{1}{6}z^2...$
Ah, cioè io ci avevo pensato ma mi sembrava un procedimento troppo banale per essere esatto. Grazie mille!
Se ottieni cose di cui non sei troppo sicuro puoi cercare wolfram online che ti sviluppa in serie di laurent ogni cosa
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