Sviluppo McLaurin sinx..dubbi su o piccolo
Ho un dubbio piuttosto semplice spero da risolvere sugli sviluppi di McLaurin, in particolar modo sulo sviluppo al secondo ordine di:
$ sin x $
dallo sviluppo di McLaurin che ho sul mio formulario dovrei applicare:
$ sin x = x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+...+(-1)^n((x^(2n+1))/((2n+1)!))+o(x^(2n+2)) $
il problema e' quel dannato o piccolo! dato che mi serve l'approssimazione al secondo ordine mi fermo al primo termine ottenendo:
$ sin x = x +o(...) $
ma quell'o piccolo non capisco cosa dovrebbe contenere
secondo la soluzione:
$ sin x = x+o(x) $
ma applicando la formula (sempre se $n$ e' l'ordine a cui voglio approssimare, non se sono sicuro):
$sin x = x+o(x^(2*2+2)) = x+o(x^6) $
$ sin x $
dallo sviluppo di McLaurin che ho sul mio formulario dovrei applicare:
$ sin x = x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)+...+(-1)^n((x^(2n+1))/((2n+1)!))+o(x^(2n+2)) $
il problema e' quel dannato o piccolo! dato che mi serve l'approssimazione al secondo ordine mi fermo al primo termine ottenendo:
$ sin x = x +o(...) $
ma quell'o piccolo non capisco cosa dovrebbe contenere
secondo la soluzione:$ sin x = x+o(x) $
ma applicando la formula (sempre se $n$ e' l'ordine a cui voglio approssimare, non se sono sicuro):
$sin x = x+o(x^(2*2+2)) = x+o(x^6) $
Risposte
In quella formula $n$ non rappresenta l'ordine dello sviluppo (che chiamiamo $m$), bensì la metà di $m$ se $m$ è pari, e la metà di $m-1$ se $m$ è dispari.
Prescindendo dalla formula, probabilmente c'è un'errore di stampa/altro nella soluzione; lo sviluppo al second'ordine di $sin x$ è
\[\sin x=\sin(0)+\sin'(0)x+\dfrac{\sin''(0)}{2}x^2+o(x^2)=0+1\cdot x+\dfrac{0}{2}x^2 +o(x^2)=x+o(x^2)\]
In generale, il polinomio di McLaurin di una funzioni pari [dispari] ha solo i termini di grado pari [dispari], essendo nulle nell'origine le derivate di ordine dispari [pari]; in particolare, se $f(x)$ è una funzione dispari e $m$ è pari, lo sviluppo di McLaurin di $f$ di ordine $m$ sarà identico a quello di ordine $m-1$, eccetto che per l'o-piccolo, che sarà in ogni caso un o-piccolo di $x^m$.
Ciao
Prescindendo dalla formula, probabilmente c'è un'errore di stampa/altro nella soluzione; lo sviluppo al second'ordine di $sin x$ è
\[\sin x=\sin(0)+\sin'(0)x+\dfrac{\sin''(0)}{2}x^2+o(x^2)=0+1\cdot x+\dfrac{0}{2}x^2 +o(x^2)=x+o(x^2)\]
In generale, il polinomio di McLaurin di una funzioni pari [dispari] ha solo i termini di grado pari [dispari], essendo nulle nell'origine le derivate di ordine dispari [pari]; in particolare, se $f(x)$ è una funzione dispari e $m$ è pari, lo sviluppo di McLaurin di $f$ di ordine $m$ sarà identico a quello di ordine $m-1$, eccetto che per l'o-piccolo, che sarà in ogni caso un o-piccolo di $x^m$.
Ciao
grazie per la spiegazione,
ma il mio problema rimane sullo sviluppo utilizzando le formule di McLaurin perche' con lo sviluppo di Taylor il risultato viene perfettamente come mi hai dimostrato.
in pratica con la formula di McLaurin: mi serve l'ordine 2 da cui $ n=m/2=2/2=1 $ da cui $ sinx=x+o(x^(2⋅1+2) )=x+o(x^4 ) $
non so insomma come utilizzare le formule di McLaurin (di cui farei volentieri a meno usando sempre Taylor)
ma il mio problema rimane sullo sviluppo utilizzando le formule di McLaurin perche' con lo sviluppo di Taylor il risultato viene perfettamente come mi hai dimostrato.
in pratica con la formula di McLaurin: mi serve l'ordine 2 da cui $ n=m/2=2/2=1 $ da cui $ sinx=x+o(x^(2⋅1+2) )=x+o(x^4 ) $
non so insomma come utilizzare le formule di McLaurin (di cui farei volentieri a meno usando sempre Taylor)
Metto in ot perchè non ho studiato matematica ed in attesa di opinioni più competenti.
[ot]lo sviluppo del second'ordine del seno è
$sin(x) = x + o(x^2)$
se non dovessero esserci , quando lo si applica ad esempio il termine di secondo grado,
lo puoi scrivere in maniera equivalente: $sin(x) = x + o(x)$[/ot]
[ot]lo sviluppo del second'ordine del seno è
$sin(x) = x + o(x^2)$
se non dovessero esserci , quando lo si applica ad esempio il termine di secondo grado,
lo puoi scrivere in maniera equivalente: $sin(x) = x + o(x)$[/ot]
@Luca: questo è corretto $\sin x=x+o(x)$. Questo $\sin x=x+o(x^2)$ è errato. Dire che $f=o(g)$ in un punto $x_0$ vuol dire che $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$: i termini che restano nello sviluppo del seno sono tutti tali da andare a zero più velocemente di $x$ usato come termine "più piccolo" per cui è questo il termine corretto da usare. E' vero che anche rispetto a $x^2$ sono infinitesimi di ordine superiore, ma questa è una informazione "eccedente" rispetto alla precedente.
Ero quasi sicuro di convenire per $\sin x=x+o(x)$ ma fidandomi di... 
.
Ad ogni modo grazie ciampax; spero che iMax21 risolva i suoi dubbi.
. Ad ogni modo grazie ciampax; spero che iMax21 risolva i suoi dubbi.
"iMax21":
non so insomma come utilizzare le formule di McLaurin (di cui farei volentieri a meno usando sempre Taylor)
@iMax21: io ho sempre chiamato "sviluppi di Mc Laurin" gli sviluppi di Taylor centrati in $x_0=0$; a parte questo, non colgo altre differenze...
Scusami comunque...la formula mi era sembrata la stessa che ho visto un paio di giorni fa su un libro. A quanto pare qui $m=2n+1$ (si presuppone che si vogliano solo sviluppi di ordine dispari), sempre di non aver preso altri granchi.
"ciampax":
questo $ \sin x=x+o(x^2) $ è errato [...] E' vero che anche rispetto a $ x^2 $ sono infinitesimi di ordine superiore
Le due affermazioni separate da "[...]" sembrano contraddirsi a vicenda
Non capisco...
si ok con $ ordine = 2n+1 $ funzionano anche gli sviluppi di McLaurin (chiedo venia se le ho chiamate formule di McLaurin!)
grazie a tutti!
grazie a tutti!
Prego ed in bocca al lupo.
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