Sviluppo in serie di Taylor

[alemar05]

Buongiorno, non riesco a capire perché lo sviluppo della funzione $ (1-y/(1+y))^(1/y) $ per $ y->0 $ è il seguente:
$ 1/e+y/(2e)+o(y) $
Da dove viene fuori la "e"?
Non dovrebbe essere del tipo $ (1+x)^alpha $?

[pilloeffe]

Ciao alemar05,

Beh, non ci sono dubbi sul fatto che il primo termine dello sviluppo in serie sia $1/e $ perché non è difficile dimostrare che

$lim_{y \to 0 }(1-y/(1+y))^(1/y) = e^{-1} = 1/e $

"alemar05":Non dovrebbe essere del tipo $(1+x)^\alpha $ ?

No, perché qui siamo in presenza di una funzione $f(y) := 1-y/(1+y) $ elevata ad un'altra funzione $g(y) := 1/y $, non elevata ad una costante $\alpha $:

$ (1-y/(1+y))^(1/y) = exp[frac{1}{y} ln(1-y/(1+y))] = exp[frac{1}{y} ln(1/(1+y))] = exp[- frac{ln(1+y)}{y}] $