Sviluppo in serie di fourier problema integrale
Ciao a tutti!! Devo sviluppare in serie di Fourier la funzione $f(x)=sin(2x)$ . Effettuando i vari calcoli per i coefficienti di fourier arrivo a dover risolvere l'integrale Ak=$int_0^pi sin(2x)cos(kx) dx$ . Risolvendo per parti, dopo 2 volte, si entra in loop e nn so cm venirne fuori... che mi consigliate?
grazie a tutti ciao ciao!!!
grazie a tutti ciao ciao!!!
Risposte
ha provato ad applicare le formule di werner?
"heretic_corvis":
Ciao a tutti!! Devo sviluppare in serie di Fourier la funzione $f(x)=sin(2x)$ . Effettuando i vari calcoli per i coefficienti di fourier arrivo a dover risolvere l'integrale Ak=$int_0^pi sin(2x)cos(kx) dx$ . Risolvendo per parti, dopo 2 volte, si entra in loop e nn so cm venirne fuori... che mi consigliate?
grazie a tutti ciao ciao!!!
Per non entrare in loop devi decidere tra la funzione di 2x e quella di kx quale deve essere il fattore finito e quale quello differenziale, supponiamo che tu decida che il fattore finito è $sin 2x$ applichi l'integrazione per parti una prima volta, adesso il fattore finito deve essere il $cos 2x$, fatta la seconda integrazione per parti, porta l'integrale a primo membro e sommalo con quello del testo. In pratica dopo le due integrazioni per parti dovresti ottenere
Ak=$int sin(2x)cos(kx) dx=-1/2 cos2x * cos kx - k/4 sin 2x * sin kx +k^2 /4 int sin(2x)cos(kx) dx$ ovvero
$(4+k^2) /4 int sin(2x)cos(kx) dx=-1/2 cos2x * cos kx - k/4 sin 2x * sin kx $
mi vergogno di me stesso.....mi sn accorto solo ora ke tutte le volte ke risolvevo invece di calcolare la derivata nell'integrale per parti calcolavo l'integraledel termine differenziale..... 
chiedo umilmente perdono!!!
chiedo umilmente perdono!!!
"heretic_corvis":
Ciao a tutti!! Devo sviluppare in serie di Fourier la funzione $f(x)=sin(2x)$ .
$sin(2x)$ è già sviluppato in serie di Fourier. Sviluppare un segnale periodico in serie di Fourier vuol dire scriverlo come combinazione lineare (secondo certi coefficienti) di un numero al più infinito numerabile di armoniche. Il tuo segnale è già scritto in questa forma... non devi fare nulla altro.
"heretic_corvis":
Effettuando i vari calcoli per i coefficienti di fourier arrivo a dover risolvere l'integrale Ak=$int_0^pi sin(2x)cos(kx) dx$ .
Se proprio vuoi fare i conti (che, ripeto, sono inutili) deve essere
$a_k = 2/pi int_0^pi sin(2x)cos(2kx) dx$
ma questo integrale fa $0$ per ogni $k>0$
Grazie a tutti!!ho risolto e sn riuscito nell'impresa!!! alla fine viene Ak=$-8/(pi(4k^2+2k-3))$ quindi tutto risolto ^______^ grazie a tutti per le dritte ciao ciao a presto!!
"heretic_corvis":
alla fine viene Ak=$-8/(pi(4k^2+2k-3))$ quindi tutto risolto ^______^
Non è possibile. Deve venire $0$.
....ho fatto i conti e viene così... anke le soluzioni dell'esame dicono così...
anke la TI-89 dice questo e cmq quel risultato viene fuori per i soli k dispari, mentre per i pari è zero!
anke la TI-89 dice questo e cmq quel risultato viene fuori per i soli k dispari, mentre per i pari è zero!
La funzione $sin(2x)$ è periodica di periodo $tau = pi$ quindi la pulsazione fondamentale delle armoniche che la compongono è $(2pi)/tau = 2$.
La serie di Fourier sarà dunque del tipo
$sin(2x) = a_0 + sum_(k=1)^(+oo) (a_k cos(2kx) + b_k sin(2kx))$
Notiamo innanzitutto che è $a_0 = 0$.
Valutiamo ora $a_k$, risulta
$a_k = 2/pi int_0^pi sin(2x)cos(2kx) dx$
Osserviamo che l'integrando è il prodotto di una funzione dispari per una funzione pari, ovvero è una funzione dispari. Inoltre esso è periodico di periodo $pi$, dunque l'integrale può essere valutato traslando gli estremi di una quantità arbitraria. In base a quanto detto, si ha
$a_k = 2/pi int_0^pi sin(2x)cos(2kx) dx = 2/pi int_(-pi/2)^(pi/2) sin(2x)cos(2kx) dx = 0$
La serie di Fourier sarà dunque del tipo
$sin(2x) = a_0 + sum_(k=1)^(+oo) (a_k cos(2kx) + b_k sin(2kx))$
Notiamo innanzitutto che è $a_0 = 0$.
Valutiamo ora $a_k$, risulta
$a_k = 2/pi int_0^pi sin(2x)cos(2kx) dx$
Osserviamo che l'integrando è il prodotto di una funzione dispari per una funzione pari, ovvero è una funzione dispari. Inoltre esso è periodico di periodo $pi$, dunque l'integrale può essere valutato traslando gli estremi di una quantità arbitraria. In base a quanto detto, si ha
$a_k = 2/pi int_0^pi sin(2x)cos(2kx) dx = 2/pi int_(-pi/2)^(pi/2) sin(2x)cos(2kx) dx = 0$
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