Sviluppo funzione con MacLaurin

[vs88]

Ciao a tutto vorrei sapere lo sviluppo della funzione $sen(x^-1)$ con MacLaurin.... ho alcuni dubbi perchè, dopo aver applicato la formula, per valutarne la correttezza ho provato ha calcolare lo sviluppo con derive che restituisce un punto interrogativo!!! Potete darmi la soluzione dello sviluppo e spiegarmi perchè derive 6 mi restituisce un bel "?"..... Grazie!

PS: con derive per approssimare sinx^-1 ad un polinomio di ordine 5 metto.....
TAYLOR(SIN(x^-1), x, 0, 5)

[_Tipper]

Credo che ti dia un bel punto interrogativo perché $\sin(x^{-1})$ non è definita in $x=0$...

[gugo82]

"Tipper":Credo che ti dia un bel punto interrogativo perché $\sin(x^{-1})$ non è definita in $x=0$...

Credo anche io.

[vs88]

E Aggiungo io.... meno male

[vs88]

mmm cerco di postare una domanda spero più intelligente della precedente.....

se dovessi fare lo sviluppo di McLaurin di una funzione, il cui sviluppo è noto, elevata a un certo valore (per esempio $sin^2x$) è possibile calcolare lo sviluppo di questa funzione direttamente dallo sviluppo della base (in questo caso di sinx)... senza dover quindi calcolare n derivate di $sin^2x$ ...... spero di esser stato chiaro......

[_Tipper]

Sviluppi il seno e poi fai il quadrato, stando ben attento agli o piccoli.

[vs88]

faccio il quadrato di 4 o 5 termini??? Scusate a quanto è uguale per esempio $(o(x^3))^2$ ???

[_Tipper]

A $o(x^6)$.

[vs88]

perfetto ancora grazie!

[gugo82]

"vs88":mmm cerco di postare una domanda spero più intelligente della precedente.....

se dovessi fare lo sviluppo di McLaurin di una funzione, il cui sviluppo è noto, elevata a un certo valore (per esempio $sin^2x$) è possibile calcolare lo sviluppo di questa funzione direttamente dallo sviluppo della base (in questo caso di sinx)... senza dover quindi calcolare n derivate di $sin^2x$ ...... spero di esser stato chiaro......

Un modo c'è, dato che si possono determinare tutti i coefficienti di Taylor del prodotto di due funzioni analitiche.
Infatti vale il seguente teorema:

Siano $Isubseteq RR$ un intervallo aperto, $x_0 in I$ ed $f,g:Irarr RR$.
Se $f,g$ sono analitiche in $x_0$ (ossia se sono sviluppabili in serie di Taylor con centro in $x_0$), allora il prodotto $f*g$ è analitico in $x_0$, la serie di Taylor di $f*g$ con centro in $x_0$ è il prodotto secondo Cauchy degli sviluppi in serie di $f$ e $g$ ed il suo raggio di convergenza è almeno pari al più piccolo tra i raggi di convergenza degli sviluppi in serie di $f$ e $g$.

Se $sum a_n*(x-x_0)^n$, $sum b_n*(x-x_0)^n$ sono rispettivamente le serie di Taylor di $f$ e $g$, allora la serie di Taylor di $f*g$ è $sum c_n*(x-x_0)^n$ ove:

$AA n in NN,\quad c_n=\sum_(k=0)^n a_(n-k)*b_k$.

Pertanto se vuoi fare la serie di Taylor di centro $x_0$ di $f^2=f*f$ devi prendere i coefficienti uguali a $c_n=\sum_(k=0)^n a_(n-k)*a_k$.

Procedendo per ricorrenza è possibile calcolare i coefficienti dello sviluppo in serie di Taylor di qualunque potenza $f^p$ ($p in NN$) di un'assegnata funzione analitica $f$: infatti, notando che per $f^2$ puoi scrivere anche $c_n=\sum_(k_1+k_2=n) a_(k_1)*a_(k_2)$, possiamo dedurre che i coefficienti dello sviluppo di Taylor di $f^p$ sono dati da:

$c_n=\sum_(k_1+...+k_p=n) a_(k_1)*...*a_(k_p)$ (è sottointeso che $k_1,...k_p in NN$).

[vs88]

Grazie per la risposta Gugo... domani cercherò di metabolizzare quello ke mi hai detto!