Sviluppo di Taylor di ordine alto (20)
Ciao a tutti, fra qualche giorno ho l'esame di Analisi I e sto dando un'ultima occhiata agli esercizi degli esami passati. La mia professoressa è solita mettere sviluppi di Taylor di centro 0 ed ordine alto, in modo da risolverli operando una sostituzione, o almeno questo è quello che ci ha fatto vedere a lezione. Mi sono però trovato davanti a questo qui:
Scrivere lo sviluppo di Taylor con Resto di Peano della funzione $f(x)=(x-1)e^(x^9+4)$ di centro $x_0=0$ e ordine $n=20$.
Calcolare fino alla derivata 20esima sarebbe assurdo, quindi sfruttando l'unicità del polinomio di Taylor di una funzione, sostituisco $x^9=y$; per $x\rightarrow0$ anche $y\rightarrow0$, quindi lo sviluppo è da calcolare ancora centrato in $y_0=0$, ma di ordine $n=2$ dato che $2*9=18$, aggiungendo infine il resto $o(y^20)$. Calcolo quindi fino alla derivata seconda:
$f(y)=(y^(1/9)-1)e^(y+4)$
$f'(y)=e^(4+y) (-1+y^(1/9))+e^(4+y)/(9 y^(8/9))$
$f''(y)=e^(4+y) (-1+y^(1/9))-(8 e^(4+y))/(81 y^(17/9))+(2 e^(4+y))/(9 y^(8/9))$
Ora dovrei calcolare $f$, $f'$ ed $f''$ in $y_0=0$, per poi comporre il polinomio di Taylor, ma escono degli zeri ai denominatori; i calcoli sono giusti, li ho controllati con WolframAlpha. Questo era il metodo che, a quanto ho capito, si utilizza...dov'è l'errore? Sbaglio a procedere in questo modo?
Scrivere lo sviluppo di Taylor con Resto di Peano della funzione $f(x)=(x-1)e^(x^9+4)$ di centro $x_0=0$ e ordine $n=20$.
Calcolare fino alla derivata 20esima sarebbe assurdo, quindi sfruttando l'unicità del polinomio di Taylor di una funzione, sostituisco $x^9=y$; per $x\rightarrow0$ anche $y\rightarrow0$, quindi lo sviluppo è da calcolare ancora centrato in $y_0=0$, ma di ordine $n=2$ dato che $2*9=18$, aggiungendo infine il resto $o(y^20)$. Calcolo quindi fino alla derivata seconda:
$f(y)=(y^(1/9)-1)e^(y+4)$
$f'(y)=e^(4+y) (-1+y^(1/9))+e^(4+y)/(9 y^(8/9))$
$f''(y)=e^(4+y) (-1+y^(1/9))-(8 e^(4+y))/(81 y^(17/9))+(2 e^(4+y))/(9 y^(8/9))$
Ora dovrei calcolare $f$, $f'$ ed $f''$ in $y_0=0$, per poi comporre il polinomio di Taylor, ma escono degli zeri ai denominatori; i calcoli sono giusti, li ho controllati con WolframAlpha. Questo era il metodo che, a quanto ho capito, si utilizza...dov'è l'errore? Sbaglio a procedere in questo modo?
Risposte
Non so come vi abbia insegnato il vostro professore, ma questo metodo è completamente sbagliato.
Non serve calcolare le derivate n-esime della funzione per sapere il polinomio di taylor, ma bisogna sfruttare l'unicità del polinomio di taylor:.
$(x-1)e^(x^9+4)=e^4[(x-1)e^(x^9)]=e^4(x-1)(1+x^9+x^18/2+o(x^19))$
Questo è lo sviluppo di taylor di $f(x)$ di ordine $20$ in $x=0$
Non serve calcolare le derivate n-esime della funzione per sapere il polinomio di taylor, ma bisogna sfruttare l'unicità del polinomio di taylor:.
$(x-1)e^(x^9+4)=e^4[(x-1)e^(x^9)]=e^4(x-1)(1+x^9+x^18/2+o(x^19))$
Questo è lo sviluppo di taylor di $f(x)$ di ordine $20$ in $x=0$
In che modo l'hai calcolato?
E' un prodotto di funzioni, e il polinomio di taylor di un prodotto di funzione è il prodotto dei loro polinomi di taylor presi singolarmente.
La funzione $(x-1)$ è un polinomio di per se e quindi il suo polinomio di taylor è essa stessa.
La funzione $e^(x^9)$, con un cambio di variabile $x^9=t$ diventa $e^t$, il cui polinomio è $1+t+t^2/2$, e andando a sostituire $t=x^9$ diventa $1+x^9+x^(18)/2$.
Il polinimio della funzione originaria è equindi:
$e^4(x-1)(1+x^9+x^(18)/2)$
La funzione $(x-1)$ è un polinomio di per se e quindi il suo polinomio di taylor è essa stessa.
La funzione $e^(x^9)$, con un cambio di variabile $x^9=t$ diventa $e^t$, il cui polinomio è $1+t+t^2/2$, e andando a sostituire $t=x^9$ diventa $1+x^9+x^(18)/2$.
Il polinimio della funzione originaria è equindi:
$e^4(x-1)(1+x^9+x^(18)/2)$
Avevo effettivamente capito io male; grazie mille mi hai risolto un dubbio enorme 
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