Sviluppo di Taylor

[Sk_Anonymous]

Per calcolare lo sviluppo di $f(x)=1/log(1+x)$ per $x->0$ di grado 1, come faccio?
E' corretto $1/log(1+x)=1/(x+o(x))$. Soltanto che dovrei portare $o(x)$ al numeratore.
Il risultato è $1/x+1/2+o(x)$. Non capisco da dove viene $1/2$.

[ciampax]

Ma sei sicuro? Guarda che la funzione non è mica definita in zero e, tra l'altro, quella cosa che hai scritto non è uno sviluppo di Taylor (che dovrebbe essere polinomiale). Cosa devi fare esattamente?

[Sk_Anonymous]

devo calcolare lo sviluppo di ordine 1 di $f(x)$ per $x->0$. Ma non è possibile calcolarlo perchè in $0$ non è definita la funzione,dico bene?

[ciampax]

Esatto, o, almeno, non puoi sicuramente calcolare quello di Taylor. E il risultato che hai fornito (soluzione del libro?) non è certamente un polinomio di Taylor. Per cui ripeto la domanda: siamo sicuri che sia questo l'esercizio?

[Sk_Anonymous]

Scusami tanto, chiedeva lo sviluppo asintotico.

[ciampax]

Mmmmmm..... continuo a non capire: che intendi per sviluppo asintotico? Determinare l'ordine di infinito/infinitesimo? La funzione è infinita, per cui dovrà essere riportata in una forma del tipo $1/x^\alpha$ con $\alpha>0$. Ma tuttavia anche così non capisco il senso del risultato. Infatti se calcoli
$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1/x^\alpha}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{\log(1+x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x^\alpha}{x}=\lim_{x\to 0} x^{\alpha-1}=1$$
se e solo se $\alpha=1$. Pertanto mi pare che $f(x)\approx 1/x$, ma non capisco da dove venga fuori il termine costante.