Sviluppo di Taylor
Devo calcolare lo sviluppo di Taylor centrato in $x_0=1$ di $f(x)=log(1+x/3)$ di grado 2.
Allora, lo sviluppo di $g(x)=log(1+x)$ di grado 2 , centrato in $x_0$, è
$g(x)=log(1+x_0)+1/(1+x_0)*(x-x_0)-1/(1+x_0)^2*(x-x_0)^2+o(x^2)$
Ora faccio lo sviluppo di $f(x)$:
$f(x)=log(1+1/3)+1/(1+1/3)(x/3-1/3)-1/(1+1/3)^2(x/3-1/3)^2+o(x^2)=$
$=log(4/3)+3/4*1/3(x-1)-1/(1+1/9+2/3)*1/9(x-1)^2+o(x^2)=$
$=log(4/3)+(x-1)/4-(x-1)^2/16+o(x^2)$
Ma lo sviluppo corretto è:
$f(x)=log(4/3)+(x-1)/4-(x-1)^2/32+o(x^2)$
Mi dite dove sbaglio, per favore?
Allora, lo sviluppo di $g(x)=log(1+x)$ di grado 2 , centrato in $x_0$, è
$g(x)=log(1+x_0)+1/(1+x_0)*(x-x_0)-1/(1+x_0)^2*(x-x_0)^2+o(x^2)$
Ora faccio lo sviluppo di $f(x)$:
$f(x)=log(1+1/3)+1/(1+1/3)(x/3-1/3)-1/(1+1/3)^2(x/3-1/3)^2+o(x^2)=$
$=log(4/3)+3/4*1/3(x-1)-1/(1+1/9+2/3)*1/9(x-1)^2+o(x^2)=$
$=log(4/3)+(x-1)/4-(x-1)^2/16+o(x^2)$
Ma lo sviluppo corretto è:
$f(x)=log(4/3)+(x-1)/4-(x-1)^2/32+o(x^2)$
Mi dite dove sbaglio, per favore?
Risposte
I fattoriali! I coefficienti dello sviluppo sono $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$, non solo le derivate. In ogni caso, piuttosto che metterti a fare questi conti io ti consiglierei di imparare a sviluppare partendo dagli sviluppi noti di McLaurin.
"ciampax":
I fattoriali! I coefficienti dello sviluppo sono $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$, non solo le derivate. In ogni caso, piuttosto che metterti a fare questi conti io ti consiglierei di imparare a sviluppare partendo dagli sviluppi noti di McLaurin.
Ma lo sviluppo è in $x_0=1$, quindi devo per forza calcolarlo, o posso ricavarlo in qualche modo da quello di Mac Laurin?
P.S. Grazie comunque, per distrazione non avevo messo i fattoriali.
Puoi. L'idea è la seguente: facciamo il cambio di variabile $t=x-x_0$ che fornisce la funzione centrata in $t_0=0$. Ora, partiamo dalla tua funzione e sostituiamo:
$$f(x)=\log\left(1+x/3\right)=\log\left(1+1/3+t/3\right)=\log\left(4/3+t/3\right)=\log\left[4/3\left(1+t/4\right)\right]=\log 4/3+\log(1+t/4)=$$
ricordando che per lo sviluppo di McLaurin si ha $\log(1+y)=y-y^2/2+o(y^2)$ e sostituendo $y\to t/4$
$$=\log \frac{4}{3}+\frac{t}{4}-\frac{t^2}{32}+o(t^2)=\log\frac{4}{3}+\frac{x-1}{4}-\frac{(x-1)^2}{32}+o\left((x-1)^2\right)$$
$$f(x)=\log\left(1+x/3\right)=\log\left(1+1/3+t/3\right)=\log\left(4/3+t/3\right)=\log\left[4/3\left(1+t/4\right)\right]=\log 4/3+\log(1+t/4)=$$
ricordando che per lo sviluppo di McLaurin si ha $\log(1+y)=y-y^2/2+o(y^2)$ e sostituendo $y\to t/4$
$$=\log \frac{4}{3}+\frac{t}{4}-\frac{t^2}{32}+o(t^2)=\log\frac{4}{3}+\frac{x-1}{4}-\frac{(x-1)^2}{32}+o\left((x-1)^2\right)$$
Grazie mille ciampax! 
Questo è solo possibile con funzioni nè pari, nè dispari, altrimenti lo Sviluppo di Mac Laurin ha termini mancanti rispetto a quello centrato in $x_0!=0$, giusto?
Ad esempio non posso dedurre lo sviluppo di $f(x)=cosx$ centrato in $x_0!=0$ a partire dallo sviluppo di Mac Laurin, poichè quello di Mac Laurin contiene soltanto potenze pari. O è possibile farlo?
Ad esempio non posso dedurre lo sviluppo di $f(x)=cosx$ centrato in $x_0!=0$ a partire dallo sviluppo di Mac Laurin, poichè quello di Mac Laurin contiene soltanto potenze pari. O è possibile farlo?
E perché? Diciamo che vogliamo sviluppare $\cos x$ in $x=\pi/2$. Allora posto $t=x-\pi/2$ si ha
$$f(x)=\cos x=\cos(t+\pi/2)=-\sin t=-t+\frac{t^3}{6}+...=-(x-\pi/2)+\frac{(x-\pi/2)^3}{6}+...$$
Prova a farlo con le derivate e vedrai che il risultato corrisponde.
$$f(x)=\cos x=\cos(t+\pi/2)=-\sin t=-t+\frac{t^3}{6}+...=-(x-\pi/2)+\frac{(x-\pi/2)^3}{6}+...$$
Prova a farlo con le derivate e vedrai che il risultato corrisponde.
E se volessi trovare lo sviluppo di $sqrt(x)$ in $x_0=0$ , devo calcolarlo o posso trovarlo a partire da $(x+1)^alpha$. Ci ho provato, ma non ci riesco.
La funzione $\sqrt{x}$ non è derivabile in $x=0$ per cui non puoi svilupparla, o, per meglio dire, il suo sviluppo risulta il seguente $\sqrt{x}=o(1)$.
Scusami, e in un altro punto , ad esempio $x_0=4$, devo farlo a mano tutto lo sviluppo o posso ricorrere a qualcosa di notevole?
In un qualsiasi punto $x_0\neq 0$ puoi effettuare la sostituzione $t=x-x_0$ e ottenere la seguente identità:
$$\sqrt{x}=\sqrt{t+x_0}=\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{1+\frac{t}{x_0}}$$
da cui puoi sviluppare usando $\sqrt{1+y}$ e ponendo $y=t/x_0$
$$\sqrt{x}=\sqrt{t+x_0}=\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{1+\frac{t}{x_0}}$$
da cui puoi sviluppare usando $\sqrt{1+y}$ e ponendo $y=t/x_0$
Grazie mille di nuovo ciampax!
Giusto per evitare fraintendimenti: quando dico "usando $\sqrt{1+y}$" intendo il suo sviluppo di McLaurin e non mettersi a fare le derivate.
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