Sviluppi Taylor per le successioni

[jitter1]

Vedo ogni tanto che gli sviluppi di Taylor sono utilizzati anche per le successioni, per esempio $sin(1/n)= 1/(3!n^3)+o(1/n^3)$. Teoricamente come si giustifica questo? Sempre grazie al teorema ponte? Ho provato a cercare un po' in rete ma non ho trovato quello che cercavo. Potreste fornirmi un link o una breve spiegazione? Grazie mille.

[gabriella127]

Ciao jitter, io direi questo, brevemente: una successione è una restrizione ai naturali di una funzione, ad esempio $sin(1/n)$ è una restrizione ai naturali di $sin(1/x)$, quindi ciò che vale per gli $x inR$ vale a fortiori anche per i naturali $n$.

Comunque quando vado a casa guardo il Giusti-AnalisiI che fa prima le funzioni e poi le successioni, considerando le successioni come restrizioni, e vedo se c'è qualche altra cosa a riguardo.

[dissonance]

Dal punto di vista teorico gli sviluppi di Taylor sono una cosa strettamente appartenente al mondo continuo. L'analogo per successioni, se proprio vogliamo, sarebbero i polinomi di Newton che si usano in analisi numerica, ma non c'entra niente con la domanda in questione.

All'atto pratico, la risposta a questa domanda è esattamente quella di Gabriella. In pratica molte successioni emergono come restrizioni ai numeri naturali di funzioni regolari, e quindi gli sviluppi di Taylor continui si possono restringere a sviluppi di Taylor sui numeri naturali. Non c'è nessuna idea dietro.

[gabriella127]

ok grazie Dissonance per la conferma, pensavo fosse solo questa cosa molto semplice.

[jitter1]

Wei che sollievo, mi aspettavo risposte più o meno complicate e invece è semplice. In effetti mi torna: un polinomio approssima una funzione, in particolare in alcuni suoi punti, cioè nei naturali.

[dissonance]

"gabriella127":ok grazie Dissonance per la conferma, pensavo fosse solo questa cosa molto semplice.

Il punto è che in astratto non ha senso fare "derivate" di una successione, e quindi neanche "polinomi di Taylor". Data una successione $a_n$, quello che si può fare è solo la "derivata discreta" (credo che si chiami più spesso "differenza finita"):
\[
\left( \Delta a\right)_n = a_{n+1}-a_n.
\]
Analogamente al caso continuo, un polinomio di grado $k$ è determinato dall'assegnazione di $k$ sue derivate discrete. Si parla allora di "polinomio di Newton":

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_pol ... polynomial

Sono cose che non servono a nulla nel calcolo dei limiti, ma hanno una importanza in analisi numerica.

Questo era giusto per non lasciare le cose in sospeso

[gabriella127]

Certo, è ovvio che quando si usa il polinomio di Taylor per le successioni non è che si sta derivando la successione, si usa il polinomio di Taylor della funzione associata alla successione per approssimare la funzione in corrispondenza dei naturali.

L'uso della funzione associata può essere un utile artificio.
Io sono stata spesso bastonata all'università a matematica da altri studenti (all'urlo: 'non si può derivare una successione!', ma urlato forte) perché usavo De l'Hopital pure per i limiti di successioni. Ma poi i professori mi davano ragione, è perfettamente legittimo. Ma non è che si sta derivando la successione, si sta derivando la funzione associata.