Sviluppi mc laurin composti
ho un problema con gli sviluppi composti di mclaurin:
se ho una funzione composta $f(g(x))$ devo sviluppare $g(x)$ in $x=0$, poi calcolare $f(x)$ nell'immagine $g(0)$ e calcolare lo sviluppo di $f(x)$ in tale punto giusto?
quindi se per esempio avessi $f(x)=2/(1+e^x)$ sviluppo $e^x$ in $x=0$, calcolo $f(e^0)$ che vale $1$, sviluppo $f(x)$ in $x=1$ e poi sostituisco lo sviluppo di $e^x$ in quello di $2/(1+x)$
però facendo i calcoli lo sviluppo mi viene sbagliato, cosa sbaglio?
se ho una funzione composta $f(g(x))$ devo sviluppare $g(x)$ in $x=0$, poi calcolare $f(x)$ nell'immagine $g(0)$ e calcolare lo sviluppo di $f(x)$ in tale punto giusto?
quindi se per esempio avessi $f(x)=2/(1+e^x)$ sviluppo $e^x$ in $x=0$, calcolo $f(e^0)$ che vale $1$, sviluppo $f(x)$ in $x=1$ e poi sostituisco lo sviluppo di $e^x$ in quello di $2/(1+x)$
però facendo i calcoli lo sviluppo mi viene sbagliato, cosa sbaglio?
Risposte
Posta il calcolo così capiamo dove sbagli

devo sviluppare al terzo ordine $2/(1+e^x)$:
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6$
$1/(1+x)=1-x+x^2-x^3$
$2/(1+e^x)=1$ calcolato in $x=0$ per cui ho sviluppato $2/(1+x)$ in $x=1$ cosi
$2/(1+x)=(1/(1+(x-1)/2))=1-(x-1)/2+(x-1)^2/4-(x-1)^3/8$
da questi calcoli mi risulta che $2/(1+x)=15/8-11/8x+5/8x^2-1/8x^3$ in $x=1$.
ora ho sostituito lo sviluppo di $e^x$ dentro quello appena calcolato e lo sviluppo completo mi viene
$-1-9/2x-61/16x^2-15/64x^3$
quando invece dovrebbe essere
$1-x/2+x^3/24$.
non capisco dove sbaglio perchè in altri sviluppi che ho fatto non ho avuto problemi anche se decentarti e qui i calcoli li ho rifatti un paio di volte
$e^x=1+x+x^2/2+x^3/6$
$1/(1+x)=1-x+x^2-x^3$
$2/(1+e^x)=1$ calcolato in $x=0$ per cui ho sviluppato $2/(1+x)$ in $x=1$ cosi
$2/(1+x)=(1/(1+(x-1)/2))=1-(x-1)/2+(x-1)^2/4-(x-1)^3/8$
da questi calcoli mi risulta che $2/(1+x)=15/8-11/8x+5/8x^2-1/8x^3$ in $x=1$.
ora ho sostituito lo sviluppo di $e^x$ dentro quello appena calcolato e lo sviluppo completo mi viene
$-1-9/2x-61/16x^2-15/64x^3$
quando invece dovrebbe essere
$1-x/2+x^3/24$.
non capisco dove sbaglio perchè in altri sviluppi che ho fatto non ho avuto problemi anche se decentarti e qui i calcoli li ho rifatti un paio di volte