Sviluppi in serie di Laurent
Ciao a tutti devo sviluppare in serie di Laurent la funzione:
$f(z)=(e^zsinz)/(z(1-cosz))$
Ho pensato di risoverla in questo modo...
Riscrivo la funzione come: $f(z)=1/z *e^z* sinz *1/(1-cosz)$ e quindi, sapendo che gli sviuppi in serie delle funzioni notevoli sono:
$e^z=1+z+(z^2)/(2!)+(z^3)/(3!)+...$
$sinz=z-(z^3)/(3!)+(z^5)/(5!)+...$
$cosz=1-(z^2)/(2!)+(z^4)/(4!)+...$
$1/(a-z)=1/a+z/(a^2)+(z^2)/(a^3)+...$
Essendo che nell'ultima $a=1$ e che al posto di $z$ dovrebbe esserci il $cosz$ come dovrei fare? Nel senso posso mettere al posto di $z$ lo sviluppo in serie della funzione $cosz$ ?
$f(z)=(e^zsinz)/(z(1-cosz))$
Ho pensato di risoverla in questo modo...
Riscrivo la funzione come: $f(z)=1/z *e^z* sinz *1/(1-cosz)$ e quindi, sapendo che gli sviuppi in serie delle funzioni notevoli sono:
$e^z=1+z+(z^2)/(2!)+(z^3)/(3!)+...$
$sinz=z-(z^3)/(3!)+(z^5)/(5!)+...$
$cosz=1-(z^2)/(2!)+(z^4)/(4!)+...$
$1/(a-z)=1/a+z/(a^2)+(z^2)/(a^3)+...$
Essendo che nell'ultima $a=1$ e che al posto di $z$ dovrebbe esserci il $cosz$ come dovrei fare? Nel senso posso mettere al posto di $z$ lo sviluppo in serie della funzione $cosz$ ?
Risposte
Prendi con le molle quello che ti dico perché sono decenni che non faccio esercizi di questo tipo, ma perché non moltiplichi numeratore e denominatore per $1+cos z$?
Otterresti $ f(z)=(e^zsinz(1+cosz))/(z(1-cos^2z))= (e^zsinz(1+cosz))/(z(sin^2z))=(e^z(1+cosz))/(z sinz)$ evitando così il problema della somma a denominatore.
Otterresti $ f(z)=(e^zsinz(1+cosz))/(z(1-cos^2z))= (e^zsinz(1+cosz))/(z(sin^2z))=(e^z(1+cosz))/(z sinz)$ evitando così il problema della somma a denominatore.
Ma così facendo mi trovo:
$(e^z(1+cosz))/(zsinz)=((1+z+(z^2)/2+(z^3)/6)(2-(z^2)/2+(z^4)/24))/(z^2-(z^4)/6+(z^6)/120)=(2+2z+(z^2)/2-(z^3)/6-5/24z^4-(z^5)/24)/(z^2-(z^3)/6+(z^6)/120)$
Ho sempre una somma al denominatore... ufff non capisco proprio come riolvere quest'esercizio....
$(e^z(1+cosz))/(zsinz)=((1+z+(z^2)/2+(z^3)/6)(2-(z^2)/2+(z^4)/24))/(z^2-(z^4)/6+(z^6)/120)=(2+2z+(z^2)/2-(z^3)/6-5/24z^4-(z^5)/24)/(z^2-(z^3)/6+(z^6)/120)$
Ho sempre una somma al denominatore... ufff non capisco proprio come riolvere quest'esercizio....
E così?
$(e^z(1+cosz))/(zsinz)=1/z*e^z*(1/sinz+cotz)$
$(e^z(1+cosz))/(zsinz)=1/z*e^z*(1/sinz+cotz)$
Potrei trasformare $1/sinz$ in $arcsinz$ e usare a sua volta lo sviluppo notevole dell'arcoseno e della cotangente e fare i conti.... ora ci provo...
Non farlo! $1/sinz$ è il reciproco del seno, e non è la sua funzione inversa cioè l'arcoseno.
È come confondere $1/x^2$, reciproco di $x^2$, con la sua funzione inversa $sqrtx$.
È come confondere $1/x^2$, reciproco di $x^2$, con la sua funzione inversa $sqrtx$.
Ah oddio mi sono confuso..... pensavo di riscrivere il seno come $(sinz)^(-1)$ per togliere il denominatore, e siccome l'inverso si indica con un meno uno allora mi sono confuso.....
però potrei usare la cosecante, e quindi il suo sviluppo di Taylor....
però potrei usare la cosecante, e quindi il suo sviluppo di Taylor....
E provare con: $"cotan" alpha/2=sin alpha/(1-cos alpha)$ ?
Si con la cotangente si trova... però mi viene un dubbio, il risultato riportato dal testo è:
$f(z)=2/(z^2)+2/z+5/6+z/6-(z^2)/360-...$
Mentre il riultato che mi ritrovo è uguale se non per l'ultimo termine:
$f(z)=2/(z^2)+2/z+5/6+z/6-(31z^2)/360-...$
I calcoli, e cioè il prodotto: $1/z(1+z+(z^2)/2+(z^3)/6)(2/z-z/6-(z^3)/360) $, è esatto.
Ricontrollato anche con il progrmma di calcolo, inoltre con lo stresso programma di calcolo( online) ho inserito tutta la funzione così come assegnata, e mi dice che il risultato della serie è quella riportata dal libro....
In poche parole chi ha ragione?
$f(z)=2/(z^2)+2/z+5/6+z/6-(z^2)/360-...$
Mentre il riultato che mi ritrovo è uguale se non per l'ultimo termine:
$f(z)=2/(z^2)+2/z+5/6+z/6-(31z^2)/360-...$
I calcoli, e cioè il prodotto: $1/z(1+z+(z^2)/2+(z^3)/6)(2/z-z/6-(z^3)/360) $, è esatto.
Ricontrollato anche con il progrmma di calcolo, inoltre con lo stresso programma di calcolo( online) ho inserito tutta la funzione così come assegnata, e mi dice che il risultato della serie è quella riportata dal libro....
In poche parole chi ha ragione?
Prova, nello sviluppo di $e^z$, ad arrivare fino al termine $z^4/24$, produce (moltiplicandolo per $1/z$ e per il $2/z$ della seconda parentesi) un ulteriore termine in $z^2$ che fa andare a posto le cose.
Quando produci uno sviluppo devi tener conto di tutto ciò che genera termini di ordine non superiore a quello a cui decidi di troncare.
Quando produci uno sviluppo devi tener conto di tutto ciò che genera termini di ordine non superiore a quello a cui decidi di troncare.
Ciao a tutti, ho un esercizio svolto del quale non riesco a capire un passaggio, la funzione da sviluppare è $f(z)=1/(z^2sinz) $.
Procede in questo modo:
$1/(z^2sinz)=1/(z^2)*1/(z-(z^3)/6+(z^5)/120-...)$
poi mette in evidenza $z$ e si ha:
$1/(z^3)*1/(1-((z^2)/6-(z^4)/120+...))$
adesso riscrive tutto il secondo termine come:
$1/(z^3)*[1+((z^2)/6-(z^4)/120)+...)+((z^2)/6-(z^4)/120+...)^2]$
Io non ho capito proprio quest'ultimo passaggio, come e perché si è potuto passare da una frazione, ad una somma di un binomio e il quadrato dello stesso?
Procede in questo modo:
$1/(z^2sinz)=1/(z^2)*1/(z-(z^3)/6+(z^5)/120-...)$
poi mette in evidenza $z$ e si ha:
$1/(z^3)*1/(1-((z^2)/6-(z^4)/120+...))$
adesso riscrive tutto il secondo termine come:
$1/(z^3)*[1+((z^2)/6-(z^4)/120)+...)+((z^2)/6-(z^4)/120+...)^2]$
Io non ho capito proprio quest'ultimo passaggio, come e perché si è potuto passare da una frazione, ad una somma di un binomio e il quadrato dello stesso?
a occhio sembra che si sia ricondotto alla formula
$1+q+q^2+.....+q^n+....=1/(1-q)$ valida per $|q|<1$, fermando lo sviluppo al termine al quadrato
$1+q+q^2+.....+q^n+....=1/(1-q)$ valida per $|q|<1$, fermando lo sviluppo al termine al quadrato
Si giusto....Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo