Sviluppi in serie

[daniela871]

salve volevo porvi un esercizio che riguarda lo sviluppo in serie di mc Laurin...allora la funzione che ho è questa

$f(x)=(x-2)/(x^2+2)$ il procedimento che ho fatto è questo:

$f(x)=1/(2(1+x^2/2))$ $1/2\sum_{n=0}^\infty x^(2n)/2^n$ quidni andando a considerare anche il numeratore(e questo passaggio non so se è giusto) e portando dentro 1/2

$\sum_{n=0}^\infty (x^(2n+1)-2)/(2^(n+1))$ pongo $2n+1=n$ quindi $n=(n-1)/2$ e quidni


$\sum_{n=0}^\infty (x^n-2)/(2^((n+1)/2))$ e per finire dovrei applicare la formula $an= f^{(n)}(0)}/{n!}$ e quidni

$an=(1-2)/2^((n+1)/2)$.

ps nell ultimo passaggio x^n è diventato 1 ma ho davvero qualche dubbio che si debba fare cosi o probabilmente avro sbagliato anche altre cose..o ofrse tutto l esercizio !!grazie a chiunque mi voglia aiutare!!

[dissonance]

Aspetta aspetta, l'idea è giusta ma devi fare le cose un po' meglio.
Dunque, partiamo da questa considerazione che hai certamente chiara: $(x-2)/(x^2+2)=(x-2)/2*1/(1-(-x^2/2))$. Come sappiamo, per ogni $q$ compreso tra $-1$ e $1$, $1/(1-q)=sum_{n=0}^inftyq^n$.

Quindi risolviamo la disequazione $-1 (N.B.: le disuguaglianze sono strette!!! C'è un motivo per questo fenomeno. Infatti, come certamente sai, le serie di potenze convergono negli interni degli intervalli, e sul bordo può succedere di tutto. Da questa disequazione capisci che la tua serie convergerà sicuramente in $(-2, 2)$, e nei punti $-2, 2$ non puoi dire nulla a priori.)

Ora, per ogni $-sqrt(2) $(x-2)/2*sum_{n=0}^infty(-1)^n/(2^n)x^(2n)=x*sum_{n=0}^infty(-1)^n/(2^(n+1))x^(2n)-2sum_{n=0}^infty(-1)^n/(2^(n+1))x^(2n)=sum_{n=0}^infty(-1)^n/(2^(n+1))x^(2n+1)-sum_{n=0}^infty(-1)^n/(2^(n))x^(2n)$.

Per concludere, tieni presente che tu sai a priori che tutte queste serie convergono quando $-sqrt(2)
Fammi un fischio se qualcosa non quadra. ciao!

[edit] oops! l'intervallo di convergenza non è $-2

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[daniela871]

ok ora è tutto perfettamente chiaro...ho scritto delle fesserie!!grazie ciao ciao