Sviluppi di Taylor

[_Tipper]

Qualcuno potrebbe dirmi, facendo i passaggi, qual è lo sviluppo di Taylor con centro 0 di e^senx?
Grazie

[dazuco]

Sappiamo che e^x = [Sommatoria per k=0 to n] di ((e^k)/(k!))
Cerchiamo la serie di taylor della funzione sen(x) con centro in 0.
Sappiamo che
sen(0) = 0
sen'(0) = 1
sen''(0) = 0
sen'''(0) = -1
e cosi via a ripetere il ciclo

D'altronde la serie di taylor è (chiamiamo x0 il centro)
[Sommatoria per k=0 to n] (derivata k-esima della funzione(x0)/k!) * (x - x0)^k

quindi per la funzione sen(x) questo significa

x - ((x^3)/3!) + ((x^5)/5!) - ((x^7)/7!) ...... e cosi via

da ciò deduciamo

[Sommatoria per k=0 to n] ((-1)^k) * (((x)^2k + 1)/((2k+1)!))

che è lo sviluppo di taylor della sen(x) con centro in 0

A questo punto fai il prodotto delle due sommatorie, quindi,
[Sommatoria per k=0 to n] di ((e^k)/(k!))
*
[Sommatoria per k=0 to n] ((-1)^k) * (((x)^2k + 1)/((2k+1)!))

è ottieni il risultato!!