Sviluppi asintotici, ordini di infinitesimo e infinito
Salve mi sono accorto di avere problemi con sviluppi asintotici, ordini di infinitesimo e infinito, nel programma non li abbiamo praticamente trattati (strano!) ma mi rendo conto che mi servono moltissimo almeno per semplificarmi le cose.
Per quanto riguarda gli sviluppi asintotici so che abbiamo a che fare con gli sviluppi di taylor-mc laurin e servono per approssimare le funzioni per valori dell'incognita tendenti a 0
Per quanto riguarda gli oridni delle funzioni ne conosco pochissimi, quelle elementari.
$logx
per farvi partire da un esempio concreto ho:
$ \int_{1}^{2} 1/(sqrt(log)) dx$
il libro mi dice $(logx)^(-1/2) = (x-1)^(-1/2) (1+o(1))$ ma non so esattamente cosa significhi
mi servirebbe qualche pratico chiarimento. Grazie
Per quanto riguarda gli sviluppi asintotici so che abbiamo a che fare con gli sviluppi di taylor-mc laurin e servono per approssimare le funzioni per valori dell'incognita tendenti a 0
Per quanto riguarda gli oridni delle funzioni ne conosco pochissimi, quelle elementari.
$logx
per farvi partire da un esempio concreto ho:
$ \int_{1}^{2} 1/(sqrt(log)) dx$
il libro mi dice $(logx)^(-1/2) = (x-1)^(-1/2) (1+o(1))$ ma non so esattamente cosa significhi
mi servirebbe qualche pratico chiarimento. Grazie
Risposte
Hola 
Per farla breve, la maggior parte dei problemi di questo tipo si risolve confrontando il comportamento asintotico della funzione in questione con quello di funzioni semplici di cui conosci già il comportamento.
[Questa è la parte che devi cercare sui libri].
Il confronto è importante solo in un intorno del punto in cui l'integrale è improprio, e per questo motivo si sostituisce all'integranda [nel tuo caso, il logaritmo] una funzione che è asintotica ad essa nel punto di interesse [nel tuo caso, \(x - 1\)] e che quindi, proprio perché è asintotica, induce un errore trascurabile nella sostituzione.
Le varie uguaglianze asintotiche, tra cui appunto \(\ln x \sim x - 1\), si ottengono troncando gli sviluppi di Taylor delle funzioni trascendenti [e le trovi sui libri].
Sulla notazione, conosci il simbolo di o-piccolo \(o\)? Sai cosa significa \(o(1), o(x^2)\) ecc...?
Per farla breve, la maggior parte dei problemi di questo tipo si risolve confrontando il comportamento asintotico della funzione in questione con quello di funzioni semplici di cui conosci già il comportamento.
[Questa è la parte che devi cercare sui libri].
Il confronto è importante solo in un intorno del punto in cui l'integrale è improprio, e per questo motivo si sostituisce all'integranda [nel tuo caso, il logaritmo] una funzione che è asintotica ad essa nel punto di interesse [nel tuo caso, \(x - 1\)] e che quindi, proprio perché è asintotica, induce un errore trascurabile nella sostituzione.
Le varie uguaglianze asintotiche, tra cui appunto \(\ln x \sim x - 1\), si ottengono troncando gli sviluppi di Taylor delle funzioni trascendenti [e le trovi sui libri].
Sulla notazione, conosci il simbolo di o-piccolo \(o\)? Sai cosa significa \(o(1), o(x^2)\) ecc...?
Per quanto riguarda il primo paragrafo quello per fortuna è consolidato.
Il secondo paragrafo è chiaro, anche se io mi riferivo ad un problema generale non necessariamente legato agli integrali.
La MIA debolezza sta nell'usare proprio le funzioni asintotiche, per esempio quando le devo troncare?
Non ho mai usato la notazione di landau...
Il secondo paragrafo è chiaro, anche se io mi riferivo ad un problema generale non necessariamente legato agli integrali.
La MIA debolezza sta nell'usare proprio le funzioni asintotiche, per esempio quando le devo troncare?
Non ho mai usato la notazione di landau...
Le devi troncare quando la precisione [nel senso di "ordine di infinitesimo"] che hai espresso ti basta per quello che devi fare!
So che la risposta è vuota di contenuto, però è quella la risposta: può capitarti un limite dove si semplifica tutto fino al grado 7, e quindi devi sviluppare almeno il grado 8, oppure può capitarti un integrale dove il grado 1 basta e quindi ti fermi lì.
Capire a priori quanti gradi ti servono per andare avanti è questione di pratica, non c'è una regola.
So che la risposta è vuota di contenuto, però è quella la risposta: può capitarti un limite dove si semplifica tutto fino al grado 7, e quindi devi sviluppare almeno il grado 8, oppure può capitarti un integrale dove il grado 1 basta e quindi ti fermi lì.
Capire a priori quanti gradi ti servono per andare avanti è questione di pratica, non c'è una regola.
Potresti farmi qualche esempio pratico?
No. Agguanta un libro.
non sono svogliato.
Il libro è la primo risorsa con cui mi sono interfacciato, se vi fosse quello che cerco non starei qui ad aspettare risposte.
Ho un libro di teoria e tre di esercizi ma nessuno che presenti in forma argomentata quello che cerco.
Il libro è la primo risorsa con cui mi sono interfacciato, se vi fosse quello che cerco non starei qui ad aspettare risposte.
Ho un libro di teoria e tre di esercizi ma nessuno che presenti in forma argomentata quello che cerco.
UP
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