Sviluppabilità in serie di Taylor
$f(x)=1/(x^2-x-6)$
Stabilire se è sviluppabile in serie di mac laurin in un intoro di $0$
Un modo di sicuro è calcolarmi la derivata $n$-esima di $f$, costruirmi la serie di Mac Laurin, calcolarmi il raggio di convergenza e vedere se converge in un sottoinsieme del disco di convergenza.
Però la derivata l'ho calcolata fino alla terza e non mi convince un granchè (nel senso che non vedo la formula generale), come possoa fare?
Stabilire se è sviluppabile in serie di mac laurin in un intoro di $0$
Un modo di sicuro è calcolarmi la derivata $n$-esima di $f$, costruirmi la serie di Mac Laurin, calcolarmi il raggio di convergenza e vedere se converge in un sottoinsieme del disco di convergenza.
Però la derivata l'ho calcolata fino alla terza e non mi convince un granchè (nel senso che non vedo la formula generale), come possoa fare?
Risposte
Se spezzi la frazione così: $f(x)=1/5(1/(x-3)-1/(x+2))$ e cominci a derivare, in breve ti accorgi che la derivata n-esima ha la seguente espressione:
$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{5}(\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}})$, la calcoli in 0 e adesso tutto si basa sulla convergenza della serie
$sum_{n=0}^{+oo} f^((n))(0) (x^n)/(n!)$...
$f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^n n!}{5}(\frac{1}{(x-3)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}})$, la calcoli in 0 e adesso tutto si basa sulla convergenza della serie
$sum_{n=0}^{+oo} f^((n))(0) (x^n)/(n!)$...
O, volendo fare i fighi, si può ragionare così: visto che [tex]$f$[/tex] è la funzione reciproca di [tex]$p(x)=x^2-x-6$[/tex], che [tex]$p$[/tex] è analitica in [tex]$0$[/tex] (è un polinomio!) e che [tex]$p(0)\neq 0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] è certamente analitica in [tex]$0$[/tex].
O, ancora, [tex]$f(x)$[/tex] è la restrizione all'asse reale della funzione complessa [tex]$f(z)=\frac{1}{z^2-z-6}$[/tex]: tale funzione è derivabile in senso complesso in un intorno circolare di [tex]$0$[/tex], ergo è olomorfa e perciò analitica in tale intorno ed in particolare è analitica in [tex]$0$[/tex]; detta [tex]$\sum a_n\ z^n$[/tex] la serie di potenze in cui si sviluppa [tex]$f(z)$[/tex] in [tex]$0$[/tex], per [tex]$z=x$[/tex] si ha [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex] (qui [tex]$x$[/tex] varia sul diametro del disco contenuto nell'asse reale) sicché [tex]$f(x)$[/tex] è sviluppabile in serie di potenze intorno a [tex]$0$[/tex].
Per concludere, basta notare che se una funzione si sviluppa in serie di potenze, allora tale sviluppo coincide con la serie di Taylor della funzione.
***
Un metodo elementare è il seguente: come notato da fireball, decomponendo in fratti semplici si trova [tex]$f(x)=\frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-3} +\frac{1}{x+2}\right)$[/tex], quindi possiamo ottenere lo sviluppo in serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] se riusciamo a sviluppare separatamente i due addendi [tex]$\frac{1}{x-3}$[/tex] e [tex]$\frac{1}{x+2}$[/tex].
Visto che le espressioni di tali addendi ricordano molto la somma della serie geometrica (ricordo che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} y^n =\frac{1}{1-y}$[/tex]) cerchiamo di ricondurci a questo caso: per [tex]$a\neq 0$[/tex] si ha:
[tex]$\frac{1}{x+a} =\frac{1}{a}\ \frac{1}{1-\left( -\frac{x}{a}\right)} =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( -\frac{x}{a} \Big)^n =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a^n} \ x^n$[/tex]
sicché, sostituendo [tex]$a=-3$[/tex] e successivamente [tex]$a=2$[/tex], con la precedente si determinano gli sviluppi che ci interessano.
A questo punto la determinazione della serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] si fa con un po' di semplice algebra.
O, ancora, [tex]$f(x)$[/tex] è la restrizione all'asse reale della funzione complessa [tex]$f(z)=\frac{1}{z^2-z-6}$[/tex]: tale funzione è derivabile in senso complesso in un intorno circolare di [tex]$0$[/tex], ergo è olomorfa e perciò analitica in tale intorno ed in particolare è analitica in [tex]$0$[/tex]; detta [tex]$\sum a_n\ z^n$[/tex] la serie di potenze in cui si sviluppa [tex]$f(z)$[/tex] in [tex]$0$[/tex], per [tex]$z=x$[/tex] si ha [tex]$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\ x^n$[/tex] (qui [tex]$x$[/tex] varia sul diametro del disco contenuto nell'asse reale) sicché [tex]$f(x)$[/tex] è sviluppabile in serie di potenze intorno a [tex]$0$[/tex].
Per concludere, basta notare che se una funzione si sviluppa in serie di potenze, allora tale sviluppo coincide con la serie di Taylor della funzione.
***
Un metodo elementare è il seguente: come notato da fireball, decomponendo in fratti semplici si trova [tex]$f(x)=\frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-3} +\frac{1}{x+2}\right)$[/tex], quindi possiamo ottenere lo sviluppo in serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] se riusciamo a sviluppare separatamente i due addendi [tex]$\frac{1}{x-3}$[/tex] e [tex]$\frac{1}{x+2}$[/tex].
Visto che le espressioni di tali addendi ricordano molto la somma della serie geometrica (ricordo che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} y^n =\frac{1}{1-y}$[/tex]) cerchiamo di ricondurci a questo caso: per [tex]$a\neq 0$[/tex] si ha:
[tex]$\frac{1}{x+a} =\frac{1}{a}\ \frac{1}{1-\left( -\frac{x}{a}\right)} =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( -\frac{x}{a} \Big)^n =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a^n} \ x^n$[/tex]
sicché, sostituendo [tex]$a=-3$[/tex] e successivamente [tex]$a=2$[/tex], con la precedente si determinano gli sviluppi che ci interessano.
A questo punto la determinazione della serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] si fa con un po' di semplice algebra.
Gugo, si può anche dire che quella $f(z)$ sia derivabile in senso complesso ovunque tranne che in z=3 e z= -2 (dove non è neanche definita) ?
"fireball":
Gugo, si può anche dire che quella $f(z)$ sia derivabile in senso complesso ovunque tranne che in z=3 e z= -2 (dove non è neanche definita) ?
Certo!
Aggiunta al post precedente: il raggio di convergenza della serie ottenuta col procedimento elementare sarà [tex]$2$[/tex].
Fireball, gugo bravissimi .. un crescendo rossiniano 
"gugo82":
O, volendo fare i fighi, si può ragionare così: visto che [tex]$f$[/tex] è la funzione reciproca di [tex]$p(x)=x^2-x-6$[/tex], che [tex]$p$[/tex] è analitica in [tex]$0$[/tex] (è un polinomio!) e che [tex]$p(0)\neq 0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] è certamente analitica in [tex]$0$[/tex].
che la recirpoca di un'analitica è ancora analitica come lo giustifico?
"gugo82":
Un metodo elementare è il seguente: come notato da fireball, decomponendo in fratti semplici si trova [tex]$f(x)=\frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-3} +\frac{1}{x+2}\right)$[/tex], quindi possiamo ottenere lo sviluppo in serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] se riusciamo a sviluppare separatamente i due addendi [tex]$\frac{1}{x-3}$[/tex] e [tex]$\frac{1}{x+2}$[/tex].
Visto che le espressioni di tali addendi ricordano molto la somma della serie geometrica (ricordo che [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} y^n =\frac{1}{1-y}$[/tex]) cerchiamo di ricondurci a questo caso: per [tex]$a\neq 0$[/tex] si ha:
[tex]$\frac{1}{x+a} =\frac{1}{a}\ \frac{1}{1-\left( -\frac{x}{a}\right)} =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( -\frac{x}{a} \Big)^n =\frac{1}{a} \ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a^n} \ x^n$[/tex]
sicché, sostituendo [tex]$a=-3$[/tex] e successivamente [tex]$a=2$[/tex], con la precedente si determinano gli sviluppi che ci interessano.
A questo punto la determinazione della serie di Taylor di [tex]$f$[/tex] si fa con un po' di semplice algebra.
molto bella questa. Non c'è bisogno neanche di calcolare la derivata, anzi, te la calcola lui $f^(n)(x)=b_n*(n!)$ dove $b_n=(-1)^n*(1/(-3)^(n+1)-1/(2^(n+1)))$
giusto?
Se volessi sapere qualcosa circa la sviluppabilità di Taylor centrata in $r$ usando il tuo stesso ragionamento posso fare
$1/(x-a)=c/a*1/(c-(-(cx)/a))=c/a*1/(1-((-(cx)/a)-(c-1)))$ e quindi $(r+1)/a*1/(1-((-((r+1)x)/a)-r))$, giusto?
"nato_pigro":
molto bella questa. Non c'è bisogno neanche di calcolare la derivata, anzi, te la calcola lui $f^(n)(x)=b_n*(n!)$ dove $b_n=(-1)^n*(1/(-3)^(n+1)-1/(2^(n+1)))$
giusto?
Esatto, per quello che diceva Gugo prima, cioè "se una funzione si sviluppa in serie di potenze, allora tale sviluppo coincide con la serie di Taylor della funzione".
Ammetto che il metodo della serie geometrica è veramente raffinato...
Invece di derivare rozzamente per cercare di trovare una formula generale, trovi due serie che sono già convergenti e hai finito...
Quando si dice la differenza tra un ingegnere e un matematico.
"nato_pigro":
[quote="gugo82"]O, volendo fare i fighi, si può ragionare così: visto che [tex]$f$[/tex] è la funzione reciproca di [tex]$p(x)=x^2-x-6$[/tex], che [tex]$p$[/tex] è analitica in [tex]$0$[/tex] (è un polinomio!) e che [tex]$p(0)\neq 0$[/tex], allora [tex]$f$[/tex] è certamente analitica in [tex]$0$[/tex].
che la reciproca di un'analitica è ancora analitica come lo giustifico?[/quote]
Invero questo è un teorema sulle funzioni analitiche che dovresti trovare sul Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover; cito a memoria (dato che non trovo il libricino) adattando l'enunciato al caso in questione:
Siano [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] un intervallo aperto, [tex]$x_0\in I$[/tex] ed [tex]$f:I\to \mathbb{R}$[/tex] una funzione analitica in [tex]$x_0$[/tex] (i.e. sviluppabile in serie di potenze di centro [tex]$x_0$[/tex]).
Se [tex]$f(x_0)\neq 0$[/tex] allora la funzione reciproca [tex]$\frac{1}{f(x)}$[/tex] è definita almeno in un intorno di [tex]$x_0$[/tex] contenuto in [tex]$I$[/tex] ed è analitica in [tex]$x_0$[/tex].
La dimostrazione che ne dà Cartan si basa, se non ricordo male, su alcuni fatti che riguardano le serie formali di potenze e sulle proprietà del raggio di convergenza.
"nato_pigro":
[quote="gugo82"]Un metodo elementare è il seguente: [...]
Molto bella questa. Non c'è bisogno neanche di calcolare la derivata, anzi, te la calcola lui: $f^((n))(x)=b_n*(n!)$ dove $b_n=(-1)^n*(1/(-3)^(n+1)-1/(2^(n+1)))$, giusto?
Se volessi sapere qualcosa circa la sviluppabilità di Taylor centrata in $r$ usando il tuo stesso ragionamento posso fare
$1/(x-a)=c/a*1/(c-(-(cx)/a))=c/a*1/(1-((-(cx)/a)-(c-1)))$ e quindi $(r+1)/a*1/(1-((-((r+1)x)/a)-r))$, giusto?[/quote]
Per i fratti semplici nella forma [tex]$\frac{\alpha}{x+a}$[/tex] ci si può ricondurre sempre ad una serie geometrica, proprio come hai fatto tu.
Per i fratti semplici nella forma [tex]$\frac{\alpha}{x^2+ax+b}$[/tex] con [tex]$\Delta =a^2-4b<0$[/tex] la questione è più delicata e, devo dire la verità, non ho mai approfondito la questione; tuttavia non credo sia possibile ricondursi ad una serie geometrica in questo caso.
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