Suriettività di una funzione monotòna
Ciao!
Non so se è giusto, provo...
una funzione monotona è sempre crescente oppure sempre decrescente?
Ne deduco che per qualsiasi elemento del secondo insieme (codominio) ne ho solo uno del primo insieme (dominio)?
Si può dire: ogni immagine ha solo una controimmagine?
Non so se è giusto, provo...
una funzione monotona è sempre crescente oppure sempre decrescente?
Ne deduco che per qualsiasi elemento del secondo insieme (codominio) ne ho solo uno del primo insieme (dominio)?
Si può dire: ogni immagine ha solo una controimmagine?
Risposte
Ciao. Non puoi dimostrarlo. E' falso 
EDIT: ovviamente parliamo di funzioni da $X\subseteq RR$ a $RR$!
EDIT: ovviamente parliamo di funzioni da $X\subseteq RR$ a $RR$!
"gio73":
Ciao!
Non so se è giusto, provo...
una funzione monotona è sempre crescente oppure sempre decrescente?
Ne deduco che per qualsiasi elemento del secondo insieme (codominio) ne ho solo uno del primo insieme (dominio)?
Si può dire: ogni immagine ha solo una controimmagine?
Qua, a parte qualche discriminazione tra codominio ed immagine (appunto la questione della suriettività), stai trattando l'iniettività della funzione.
E' garanzia di biiettività solo se restringi il codominio all'immagine. E poi lascia perdere yahoo answers.
Io sapevo che se $f$ è strettamente monotona nel suo dominio, allora $f$ è iniettiva e credo di avere anche la dimostrazione da qualche parte 
"Obidream":
Io sapevo che se $f$ è strettamente monotona nel suo dominio, allora $f$ è iniettiva e credo di avere anche la dimostrazione da qualche parte
Non mi pare ci sia da dimostrare qualcosa: sta tutto nelle definizioni.
"Delirium":
[quote="Obidream"]Io sapevo che se $f$ è strettamente monotona nel suo dominio, allora $f$ è iniettiva e credo di avere anche la dimostrazione da qualche parte
Non mi pare ci sia da dimostrare qualcosa: sta tutto nelle definizioni.[/quote]
In effetti, nel libro la chiama dimostrazione, ma di dimostrazione, usa solo le definizioni come dici tu appunto
Grazie
"Nicholas_D":
Com'è quindi possibile che la monotonia sia garanzia di biiettività, se una qualsiasi funzione monotona non è necessariamente suriettiva?
Devo prenderla come una mancanza di chi scrive ciò che ho letto in giro (ad esempio qui http://forum.sdai.unict.it/index.php?&topic=9374.0)?
Ciao Nicholas_D
non capisco il tuo punto di vista...
io non sono particolarmente preparata e l'ho dichiarato inizialmente, rispondo alle domande che mi interessano per imparare insieme agli altri...
se hai risolto i tuoi dubbi spiega anche a me, magari con degli esempi.
Ribadisco:
Fine, non c'è altro da dire.
"Delirium":
E' garanzia di biiettività solo se restringi il codominio all'immagine. E poi lascia perdere yahoo answers.
Fine, non c'è altro da dire.
Suppongo il codominio sia R questo non lo hai scritto ed e fondamentale,Cmq credo tu debba supporre che i limiti agli estremi siano + o - infinito a quel punto si! Lo dimostri facilmente sempre supponendo che il codominio sia R
"Nicholas_D":
Com'è quindi possibile che la monotonia sia garanzia di biiettività, se una qualsiasi funzione monotona non è necessariamente suriettiva?
Devo prenderla come una mancanza di chi scrive ciò che ho letto in giro (ad esempio qui http://forum.sdai.unict.it/index.php?&topic=9374.0)?
SI. Se non ti convinco, ti faccio un controesempio banale.
Prendiamo la funzione $f:RR\to RR$, $x\mapsto 1$ (o se preferisci, qualsiasi altra costante). In base alle definizioni, $f$ è allo stesso tempo decrescente e crescente, non strettamente ovviamente. Si ha
\[\text{Im} f=\{1\}\]
mentre
\[\text{Cod} f=\mathbb{R}\]
dove con $\text{Cod}$ ho indicato il codominio. Dal momento che i due insiemi non coincidono (definizione di funzione suriettiva), segue che $f$ non è suriettiva, il che è in contrasto con la tua ipotesi (piu propriamente, la tua tesi) iniziale (OGNI funzione monotona è suriettiva).
Ciao
Giuseppe
"fuce93":
Suppongo il codominio sia R questo non lo hai scritto ed e fondamentale,Cmq credo tu debba supporre che i limiti agli estremi siano + o - infinito a quel punto si! Lo dimostri facilmente sempre supponendo che il codominio sia R
Ma cosa stai dicendo? Il codominio potrebbe essere anche \(\displaystyle \mathbb{R}^{+} \), oppure \(\displaystyle [0,1] \). Data una funzione strettamente crescente o decrescente \(\displaystyle f: \mbox{D} \to \mbox{C} \) esiste la sua inversa se e solo se \(\displaystyle f \) è iniettiva e suriettiva. Nel caso in cui venga meno la seconda ipotesi si può costruire un'inversa parziale restringendo il codominio all'immagine (sempre che abbiate chiara quale sia la differenza tra i due). La funzione \(\displaystyle f^{*}: \mbox{D} \to f({\mbox{D}}) \) è pertanto invertibile.
"Delirium":
Ribadisco:
[quote="Delirium"]E' garanzia di biiettività solo se restringi il codominio all'immagine.
Fine, non c'è altro da dire.[/quote]
Nemmeno questo mi pare sufficiente. La funzione dev'essere STRETTAMENTE monotona (vedi il controesempio del post precedente).
E poi lascia perdere yahoo answers.
Quotooooo
E' ovvio che quanto ho detto più sopra è da riferirsi a funzioni strettamente monotòne - o chiamale come vuoi, io ne ho sentite parecchie diverse, di nomenclature (in alcune dispense e/o testi si parla di crescenza e di non-decrescenza mentre in altri si parla di crescenza e di crescenza in senso stretto). Non l'ho specificato perché mi pareva ovvio.
Tra l'altro la funzione che citi, Plepp, non è nemmeno iniettiva. Quindi a maggior ragione non sarà invertibile.
Tra l'altro la funzione che citi, Plepp, non è nemmeno iniettiva. Quindi a maggior ragione non sarà invertibile.
"Delirium":
Tra l'altro la funzione che citi, Plepp, non è nemmeno iniettiva. Quindi a maggior ragione non sarà invertibile.
Beh cosa c'entra scusa? Lo scopo era di smentire quanto affermato da Nicholas: ogni funzione monotona è suriettiva.
"Delirium":
io ne ho sentite parecchie diverse, di nomenclature (in alcune dispense e/o testi si parla di crescenza e di non-decrescenza mentre in altri si parla di crescenza e di crescenza in senso stretto).
Non dirlo a me
che si mettano d'accordo una volta per tutte!!...ricordo che qualche tempo fa trovai anche piu definizioni di funzione invertibile (tra cui quella che riporti tu, che a mio avviso è la più corretta)...e questo risulta un problema quando ti viene chiesto in un esame di determinare se una funzione sia invertibile o meno, e non sai cosa intende il tuo prof per funzione invertibile
Ma cosa stai dicendo tu!!! Se il codominio non e' specificato suppongo sia R!!senno se ti chiedo x^2 e surgettiva? Non credo avrebbe molto senso come domanda...
@fuce. Delirium ha ragione. Non si suppone mai un tubo. Quando si definisce una funzione, si definiscono anche il suo dominio ed il codominio. Di solito però, questa operazione qua viene trascurata (mi è capitato un sacco di volte di trovare scritto "Sia $f(x)=x^2$", anzichè "Sia $f:A\to B$ tale che $x\mapsto x^2$" - dove vengono specificati gli insiemi $A$ e $B$)
"fuce93":
Ma cosa stai dicendo tu!!! Se il codominio non e' specificato suppongo sia R!!
Perché? Se non è specificato non è specificato. E' un'osservazione inutile ai fini della discussione.
"fuce93":
senno se ti chiedo x^2 e surgettiva? Non credo avrebbe molto senso come domanda...
Ci sono due risposte possibili: \(\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \) t.c. \(\displaystyle f(x)=x^{2} \) non è suriettiva, \(\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^{+} \) t.c. \(\displaystyle g(x)=x^{2} \) è suriettiva. Contento?
"Plepp":
Beh cosa c'entra scusa? Lo scopo era di smentire quanto affermato da Nicholas: ogni funzione monotona è suriettiva.
C'entra nella misura in cui la perplessità dell'utente che ha aperto la discussione sia inerente alla ricerca dell'inversa; in tal caso personalmente avrei scelto un esempio diverso. In caso contrario quella mia osservazione è completamente inutile.
"Delirium":
C'entra nella misura in cui la perplessità dell'utente che ha aperto la discussione sia inerente alla ricerca dell'inversa; in tal caso personalmente avrei scelto un esempio diverso.
In tal caso penso che un buon esempio sarebbe la funzione $g$ del tuo esempio, con dominio e codominio invertiti.
Non mi avete capito Cmq so benissimo quello che dici infatti ho detto suppongo sia su R.. Sicuramente ha piu senso se non specificato il codominio di una f supporre sia R e Cmq se non e specificato il codominio la domanda non ha molto senso. Pensa ad e^x e' monotona crescente ma surgettiva se solo se definisco la funzione R-R+ quindi ripeto la domanda non ha molto senso
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