Suriettività di una funzione monotòna
Ciao!
Non so se è giusto, provo...
una funzione monotona è sempre crescente oppure sempre decrescente?
Ne deduco che per qualsiasi elemento del secondo insieme (codominio) ne ho solo uno del primo insieme (dominio)?
Si può dire: ogni immagine ha solo una controimmagine?
Non so se è giusto, provo...
una funzione monotona è sempre crescente oppure sempre decrescente?
Ne deduco che per qualsiasi elemento del secondo insieme (codominio) ne ho solo uno del primo insieme (dominio)?
Si può dire: ogni immagine ha solo una controimmagine?
Risposte
Preliminare. Stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale. Cioè $f:A \to RR$, con $A \sube RR$.
1. Una funzione si dice monotona se è debolmente crescente o debolmente descrescente.
2. Ergo, una funzione monotona non è detto che sia iniettiva (esempio: $f(x) = 0$ per ogni $x$), né che sia suriettiva (esempio: $f(x) = 0$ per ogni $x$).
3. Una funzione si dice strettamente monotona se è strettamente crescente o strettamente decrescente.
4. Una funzione strettamente monotona è iniettiva.
5. Il fatto 4. richiede una dimostrazione. Che questa sia ovvia (dipende essenzialmente dal fatto che $x
1. Una funzione si dice monotona se è debolmente crescente o debolmente descrescente.
2. Ergo, una funzione monotona non è detto che sia iniettiva (esempio: $f(x) = 0$ per ogni $x$), né che sia suriettiva (esempio: $f(x) = 0$ per ogni $x$).
3. Una funzione si dice strettamente monotona se è strettamente crescente o strettamente decrescente.
4. Una funzione strettamente monotona è iniettiva.
5. Il fatto 4. richiede una dimostrazione. Che questa sia ovvia (dipende essenzialmente dal fatto che $x
Quando, in analisi, si parla di funzione reale di variabile reale, il codominio è sempre $RR$.
E' per questo motivo che gli analisti usano una "definizione" di funzione invertibile DIVERSA dagli algebristi. Per un analista una funzione è invertibile quando è iniettiva.
Se si parla tra individui adulti, consapevoli e matematicamente istruiti, non c'è alcun rischio di confusione. Basta fare questo semplice esercizietto per passare dal linguaggio degli analisti a quello degli algebristi (e viceversa).
Sia $f:A \to RR$, iniettiva. Considero $f^r:A \to f(A)$. Questa $f^r$ è invertibile anche per gli algebristi. Chiamiamo (ovviamente) $(f^r)^{-1}$ la inversa degli algebristi. Ovviamente $(f^r)^{-1} : f(A) \to A$. Non è quindi detto che $(f^r)^{-1}$ sia una funzione reale di variabile reale. Boh, basta prendere $(f^r)^{-1}_e$ che non è altro che la $(f^r)^{-1}$ cui viene affibbiato come codominio $RR$.
Ed analisti ed algebristi vissero felici e contenti, potendo ciascuno usare il vocabolario per lui più comodo ed avendo allo stesso modo la possibilità di tradurre banalmente dalla lingua degli analisti a quella degli albegristi e viceversa.
Tutto il resto sono chiacchiere irrilevanti. E non si tratta certo di una questione su cui imbastire guerre di religione. Lasciatelo dire ad un analista che però si è formato da giovane giovane su "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo Radice. Pace e bene a tutti.
E' per questo motivo che gli analisti usano una "definizione" di funzione invertibile DIVERSA dagli algebristi. Per un analista una funzione è invertibile quando è iniettiva.
Se si parla tra individui adulti, consapevoli e matematicamente istruiti, non c'è alcun rischio di confusione. Basta fare questo semplice esercizietto per passare dal linguaggio degli analisti a quello degli algebristi (e viceversa).
Sia $f:A \to RR$, iniettiva. Considero $f^r:A \to f(A)$. Questa $f^r$ è invertibile anche per gli algebristi. Chiamiamo (ovviamente) $(f^r)^{-1}$ la inversa degli algebristi. Ovviamente $(f^r)^{-1} : f(A) \to A$. Non è quindi detto che $(f^r)^{-1}$ sia una funzione reale di variabile reale. Boh, basta prendere $(f^r)^{-1}_e$ che non è altro che la $(f^r)^{-1}$ cui viene affibbiato come codominio $RR$.
Ed analisti ed algebristi vissero felici e contenti, potendo ciascuno usare il vocabolario per lui più comodo ed avendo allo stesso modo la possibilità di tradurre banalmente dalla lingua degli analisti a quella degli albegristi e viceversa.
Tutto il resto sono chiacchiere irrilevanti. E non si tratta certo di una questione su cui imbastire guerre di religione. Lasciatelo dire ad un analista che però si è formato da giovane giovane su "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo Radice. Pace e bene a tutti.
Come al solito, molto chiaro ed esauriente Fioravante (ed anche divertente direi) 
Grazie.
Grazie.
Ma allora io sono un algebrista, un analista oppure ho sparato solo un mucchio di cagate 
?
?
giacchè l'intervento del prof non ha fermato il post mi rifaccio avanti e riassumo per vedere se ho capito:
Una funzione è una relazione che collega due insiemi, chiamiamo Dominio l'insieme di partenza e codominio l'insieme di arrivo
Per avere una funzione è necessario che tutti gli elementi dell'insieme di partenza abbiano una, e una sola immagine nell'insieme di arrivo (al massimo posso un po' diminuire l'insieme di partenza se alcuni valori mi tornano scomodi, sarebbe come fare il campo di esistenza?)
Non è detto che tutti gli elementi dell'insieme d'arrivo siano coperti dalla relazione in tal caso la funzione non è suriettiva (al massimo posso togliere dall'insieme d'arrivo gli elementi che non sono coperti)
Può essere che un elemento dell'insieme di arrivo abbia più di una controimmagine, in tal caso la funzione non è iniettiva
Passiamo all'insieme dei numeri reali:
L'insieme di partenza potrebbe essere una parte, un sottoinsieme proprio di $RR$
Se l'insieme di arrivo è tutto $RR$ allora la funzione è suriettiva
Grazie a chi mi correggerà
Se l'insieme di arrivo non è tutto $RR$ allora la funzione non è suriettiva
Se gli elementi dell'insieme di arrivo hanno una sola controimmagine allora la funzione è iniettiva
Se almeno un elemento dell'insieme di arrivo ha più di una controimmagine allora la funzione non è iniettiva
Una funzione è una relazione che collega due insiemi, chiamiamo Dominio l'insieme di partenza e codominio l'insieme di arrivo
Per avere una funzione è necessario che tutti gli elementi dell'insieme di partenza abbiano una, e una sola immagine nell'insieme di arrivo (al massimo posso un po' diminuire l'insieme di partenza se alcuni valori mi tornano scomodi, sarebbe come fare il campo di esistenza?)
Non è detto che tutti gli elementi dell'insieme d'arrivo siano coperti dalla relazione in tal caso la funzione non è suriettiva (al massimo posso togliere dall'insieme d'arrivo gli elementi che non sono coperti)
Può essere che un elemento dell'insieme di arrivo abbia più di una controimmagine, in tal caso la funzione non è iniettiva
Passiamo all'insieme dei numeri reali:
L'insieme di partenza potrebbe essere una parte, un sottoinsieme proprio di $RR$
Se l'insieme di arrivo è tutto $RR$ allora la funzione è suriettiva
Grazie a chi mi correggerà
Se l'insieme di arrivo non è tutto $RR$ allora la funzione non è suriettiva
Se gli elementi dell'insieme di arrivo hanno una sola controimmagine allora la funzione è iniettiva
Se almeno un elemento dell'insieme di arrivo ha più di una controimmagine allora la funzione non è iniettiva
Ma allora io sono un algebrista, un analista oppure ho sparato solo un mucchio di cagate
Mi par di capire che ciò che si è detto fin'ora rimanga corretto anche dopo l'intervento di Fioravante, che suppongo volesse essere un chiarimento a questo mio discorso (in particolare, ma anche a tutto il resto):
"Plepp":
Non dirlo a meche si mettano d'accordo una volta per tutte!!...ricordo che qualche tempo fa trovai anche piu definizioni di funzione invertibile (tra cui quella che riporti tu, che a mio avviso è la più corretta)...e questo risulta un problema quando ti viene chiesto in un esame di determinare se una funzione sia invertibile o meno, e non sai cosa intende il tuo prof per funzione invertibile
La morale è che tra adulti consenzienti non c'è niente di proibito.
"Nicholas_D":
Sono un po' confuso: non posso quindi affermare universalmente senza dare adito ad ambiguità che una funzione strettamente monotòna non è necessariamente invertibile in quanto non necessariamente biiettiva?
Per un analista parrebbe proprio che una funzione strettamente monotòna sia invertibile a prescindere dal fatto che questa sia suriettiva o meno, perché la si "assume" reale di variabile reale.
Voglio dire: se una funzione non fosse reale di variabile reale?
A quel punto potrei sì affermare che una funzione strettamente monotòna non necessariamente è anche invertibile.
Quest'ultima affermazione può essere considerata universale e quindi scevra di ambiguità di sorta?
Nel mio post che tu citavi ho cercato di essere molto sintetico, di dire le cose essenziali senza troppi fronzoli. Ma quese tue domande mi danno l'occasione di fare alcune precisazioni.
1. Anche per un analista, generalmente parlando, la invertibilità è equivalente alla bigettività. Solo che, quando si occupa di cose elementari (in particolare, quando insegna "analisi 1" o simili), gli fa comodo che le funzioni reali siano quelle dette: $f:A \to RR$, con $A \sube RR$. Notare che la cosa importante nel discorso è che il codominio è sempre quello, ovvero $RR$). Questa comodità la paga con un "adattamento" della nozione di funzione invertibile, che è quella che ho descritto. E che si discosta, da quella standard in matematica (mica solo in algebra), per il fatto di richiedere solo l'iniettività. Non c'è nulla di filosofico, è solo questione di comodità. Esattamente come per gli analisti in genere è comodo che i naturali comincino da $1$, mentre agli algebristi fa più piacere farli cominciare da $0$. Se provi a cercare nel forum troverai un sacco di discussioni inutili a questo proposito.
2. Tu vuoi che in matematica si usino simboli, termini, definizioni "universali"? Ti capisco, ma non c'è speranza. In molti casi, per fortuna, questo avviene. Ma ci sono aree in cui l'ambiguità regna. Una di queste, la più significativa direi, è quella delle relazioni d'ordine ed affini. Guarda un po' di libri e vedrai che autori diversi usano nomi diversi per indicare lo stesso ente matematico (e viceversa). Persino cosa sia una "funzione crescente" ha margini di ambiguità: per taluni è sinonimo di "strettamente crescente", per tal'altri "debolmente crescente" (poi ci sono quelli, come il mio prof Cecconi, che chiamano "monotone non decrescenti" le funzioni "debolmente crescenti"). Altro esempio: in $RR_+$ ci sta lo $0$ o no? Dipende dall'autore. Cosicché io mi sono abituato ad usare $RR_{>=}$ e $RR_>$ per distinguerli.
Non c'è niente da fare. Tieni poi presente che la matematica sente anche l'influenza di discipline cui viene applicata. Non ti dico la confusione che si è creata su alcuni termini della Teoria dei Giochi per colpa degli economisti (la cosa più carina riguarda la dominanza: ci sono ovviamente tre tipi diversi di dominanza ma loro vogliono usare solo due nomi per individuarle/distinguerle).
3. Cosa piccolina ma non troppo (ha a che fare con la maturità ed esperienza matematica): chiedi cosa succede delle funzioni strettamente monotone fuori dal contesto delle funzioni reali di variabile reale. La domanda è: sono considerate invertibili tout-court o no? La risposta importante che ho da darti è una domanda: cosa vuol dire funzione strettamente monotona per una funzione che non sia una funzione reale di variabile reale?
Provo a rispondere a fioravante...
non è detto che tra gli elementi di un insieme, che non è $RR$, ci sia una relazione d'ordine, e quindi come a faccio a parlare di decrescenza o crescenza...
non è detto che tra gli elementi di un insieme, che non è $RR$, ci sia una relazione d'ordine, e quindi come a faccio a parlare di decrescenza o crescenza...
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