Superfici parametrizzate e vettore normale (esercizio)

[bestioso]

Ciao a tutti, volevo chiedervi una mano su un esercizio di cui non ho la soluzione e la risoluzione mi lascia dei dubbi.
Allora, data la funzione, nel piano 0xz, $ f(x)=e^(2x) $ , $ f:[1,2] $ determinare una parametrizzazione del solido creato ruotando attorno all'asse x il grafico.

Io come prima cosa ho scritto la funzione così:
$ f(z)=(ln(z))/2 , f:[e^2,e^4] $
Poi ho parametrizzato:
$ \varphi : [e^2,e^4]\rightarrowR^3 \varphi(z)=((ln(z))/2,0,z) $
Poi ancora:
$\Phi:D\rightarrowR^3 \Phi(z,\theta )=((ln(z))/2,zsin\theta,zcos\theta)$ con $D=[(z,\theta )| 0\leq z\leq e^4, 0\leq \theta\leq 2\pi] $

Fino a qua mi sembra di essere giusto poi per detrminare il vettore dovrei risolvere $ (\Phix\wedge\Phiy)(x,y)$ con la rispettiva matrice ma in questo caso non sono sicuro di procedere come ho in mente cioè risolvendo le derivate parziali rispetto a z e a $ \Phi$.
Spero possiate aiutarmi!!

[bestioso]

Non capisco una cosa, se x=u l'intervallo in cui prendo u non drovebbe andare da $ [e2,e4]$ ? poi con che criterio scambio le formule nel sistema che parametrizza la superficie per descrivere un rotazione diversa da quella sull'asse z?
Grazie molte per l'aiuto che fin qui mi hai gia dato!

[bestioso]

Si per l'intervallo in effetti è così, mi ero sbagliato non prendendo i valori dell'immagine. Ho riguardato bene gli appunti oltre che aver spluciato su libri ma continuo a non capire come si crea la parametrizzazione Γ anche nel caso di rotazioni di altre curve,cioè basta porre x=u e sostituire le x con le u?, se potresti spiegarmi!