Superfici di rotazione
SI consideri la superficie S di rotazione di 2π attorno all'asse x della curva :
$g(x) = (x,0,cosx)$ con x appartenente $[0,π/2 ]$
Scrivere l'equazione del piano tangente a S nel punto $(π/8 , (sqrt(3)π)/8, sqrt(2)/2 )$
Calcolare l'area di S. [ utilizzare il fatto che $int1/(sqrt(t^2+1)) = ln(t+sqrt(t^2+1))$ ]
La prima cosa che ho fatto è stata scrivere le equazioni della superficie :
$x=x(t)$
$y=y(t)sinw$
$z=z(t)cosw$ con $0
$x=x$
$y=0$ <---- Ho forti dubbi su questo
$z=cosxcosw$ con x appartenente $[0,π/2 ]$
Ho utilizzato l' equazione del piano tangente:
$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) $ dove A,B,C sono i minori della matrice jacobiana.
Per l'area si devono usare i teoremi di guldino?
$g(x) = (x,0,cosx)$ con x appartenente $[0,π/2 ]$
Scrivere l'equazione del piano tangente a S nel punto $(π/8 , (sqrt(3)π)/8, sqrt(2)/2 )$
Calcolare l'area di S. [ utilizzare il fatto che $int1/(sqrt(t^2+1)) = ln(t+sqrt(t^2+1))$ ]
La prima cosa che ho fatto è stata scrivere le equazioni della superficie :
$x=x(t)$
$y=y(t)sinw$
$z=z(t)cosw$ con $0
$x=x$
$y=0$ <---- Ho forti dubbi su questo
$z=cosxcosw$ con x appartenente $[0,π/2 ]$
Ho utilizzato l' equazione del piano tangente:
$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) $ dove A,B,C sono i minori della matrice jacobiana.
Per l'area si devono usare i teoremi di guldino?
Risposte
La parametrizzazione della superficie mi sembra errata. Abbiamo:
\[\mathbf{g}(t) := \left(t,0,\cos{t}\right)^T\]
La curva è contenuta nel piano \(y = 0\) e non è altro che il grafico della funzione \(f(x) = \cos{x}\).
Ora dobbiamo fare ruotare la superficie attorno all'asse \(x\) di \(\pi / 2\).
Io preferisco sempre i metodi robusti. Consideriamo la matrice di rotazione:\[\mathbf{R}(\theta) := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\0 & \sin{\theta} & cos{\theta} \end{pmatrix}\]
La superficie di rotazione sarà:
\[\mathbf{r}(t,\theta) := \mathbf{R}(\theta) \mathbf{g}(t) = \left(t,-\cos{t}\sin{\theta},\cos{\theta}\cos{t}\right)^T\]
Com'è giusto la seconda componente non è nulla (come veniva il tuo caso) il che è in accordo con l'intuizione.
Ora dovresti esserci! Spero di non aver fatto errori
PS: Aggiungo:
Non perderti in formule "pronte" preconfezionate. Per calcolare l'area calcola l'integrale di superficie direttamente e ricava tu stesso quelle formule notevoli. Lo stesso per il piano tangente
\[\mathbf{g}(t) := \left(t,0,\cos{t}\right)^T\]
La curva è contenuta nel piano \(y = 0\) e non è altro che il grafico della funzione \(f(x) = \cos{x}\).
Ora dobbiamo fare ruotare la superficie attorno all'asse \(x\) di \(\pi / 2\).
Io preferisco sempre i metodi robusti. Consideriamo la matrice di rotazione:\[\mathbf{R}(\theta) := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\0 & \sin{\theta} & cos{\theta} \end{pmatrix}\]
La superficie di rotazione sarà:
\[\mathbf{r}(t,\theta) := \mathbf{R}(\theta) \mathbf{g}(t) = \left(t,-\cos{t}\sin{\theta},\cos{\theta}\cos{t}\right)^T\]
Com'è giusto la seconda componente non è nulla (come veniva il tuo caso) il che è in accordo con l'intuizione.
Ora dovresti esserci! Spero di non aver fatto errori
PS: Aggiungo:
"abcde12345":
Ho utilizzato l' equazione del piano tangente:
$ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0) $ dove A,B,C sono i minori della matrice jacobiana.
Per l'area si devono usare i teoremi di guldino?
Non perderti in formule "pronte" preconfezionate. Per calcolare l'area calcola l'integrale di superficie direttamente e ricava tu stesso quelle formule notevoli. Lo stesso per il piano tangente
Grazie mille sei stato molto chiaro ^^
Volevo chiederti una cosa, ma noi le matrici di rotazione non le abbiamo proprio viste e sul libro non se ne parla , abbiamo visto solo quella parametrizzazione che ho scritto prima , come faccio da quella a ricavare le coordinate della superficie di rotazione , ci sto provando da un'ora ma non mi viene ,mi trovo sempre la dannata y = 0
Per il piano tangente ho calcolato i 3 minori e mi vengono:
$A= -sintcost $
$B= costsinw $ w=teta
$c=-costcosw$
per cui il piano deve essere:
$-sintcost ( x- π / 8 ) +costsinw (y- sqrt(3)π/8 ) -costcosw (z-sqrt(2)/2) = 0 $
Ora al posto di t e di w dovrebbe andarci $π / 8$ e $2π$ ?
Per l'area ci sto ancora lavorando xD
Volevo chiederti una cosa, ma noi le matrici di rotazione non le abbiamo proprio viste e sul libro non se ne parla , abbiamo visto solo quella parametrizzazione che ho scritto prima , come faccio da quella a ricavare le coordinate della superficie di rotazione , ci sto provando da un'ora ma non mi viene ,mi trovo sempre la dannata y = 0
Per il piano tangente ho calcolato i 3 minori e mi vengono:
$A= -sintcost $
$B= costsinw $ w=teta
$c=-costcosw$
per cui il piano deve essere:
$-sintcost ( x- π / 8 ) +costsinw (y- sqrt(3)π/8 ) -costcosw (z-sqrt(2)/2) = 0 $
Ora al posto di t e di w dovrebbe andarci $π / 8$ e $2π$ ?
Per l'area ci sto ancora lavorando xD
ragazzi lo uppo perchè è importante infatti è un esercizio del compito di analisi II , ho superato lo scritto e il prof sicuro lo chiede all'orale quindi volevo farlo perfetto , grazie a tutti .
"abcde12345":
Grazie mille sei stato molto chiaro ^^
Volevo chiederti una cosa, ma noi le matrici di rotazione non le abbiamo proprio viste e sul libro non se ne parla , abbiamo visto solo quella parametrizzazione che ho scritto prima , come faccio da quella a ricavare le coordinate della superficie di rotazione , ci sto provando da un'ora ma non mi viene ,mi trovo sempre la dannata y = 0
Proviamo a ragionare euristicamente così: abbiamo una curva nel piano \(xz\) dato che \(y=0\) che dobbiamo far ruotare attorno all'asse \(x\) (fatti un disegno mentre leggi). Il che vuol dire che se noi "affettiamo" la superficie ottenuta con un qualsiasi piano ortogonale all'asse \(x\), ovvero \(x = t\), dobbiamo vedere una circonferenza che passa per il punto \(\mathbf{g}(t) = (t,0,\cos{t})\) con raggio \(r_t = \cos{t}\). L'equazione di questa circonferenza nel piano \(x = t\) sarà \(\mathbf{\varphi}_t(\theta) = (r_t \sin{\theta},r_t\cos{\theta})\). Se vogliamo invece avere la parametrizzazione nello spazio \(\mathbb{R}^3\) ci basta imporre che la prima componente sia costante e pari a \(t\) obbligando il nostro punto a muoversi sul piano \(x = t\), ovvero:
\[\mathbf{h}_t(\theta) = (t,r_t \sin{\theta},r_t\cos{\theta})\]
Abbiamo ottenuto una famiglia di circonferenze al variare del parametro di \(t\) che "incollate tutte" ci danno la nostra superficie.
Non ci resta che "incollarle" facendo variare liberamente \(t\):
\[\mathbf{r}(\theta,t) = (t,r_t \sin{\theta},r_t\cos{\theta})\]
Sostituiamo poi il valore del raggio in funzione di \(t\):
\[\mathbf{r}(\theta,t) = (t,\cos{t} \sin{\theta},\cos{t} \cos{\theta})\]
E abbiamo ottenuto il nostro risultato (il segno del seno è ininfluente). Io mi sono fatto un bel disegno per fare questa spiegazione, ti invito a farlo tu stesso. Il trucco sta nel bloccare un parametro, ragionare e poi sbloccarlo e farlo variare.
"abcde12345":
Per il piano tangente ho calcolato i 3 minori e mi vengono:
$A= -sintcost $
$B= costsinw $
$c=-costcosw$
Qui mi sembra a posto.
"abcde12345":
Ora al posto di t e di w dovrebbe andarci $π / 8$ e $2π$ ?
Perché dici \(2 \pi\)? Magari è corretto. In generale devi risolvere il sistema \(\mathbf{r}(\theta,t) = \mathbf{p}\) dove \(\mathbf{p} = \left( 8/\pi,\pi\sqrt{3}/8,\sqrt{2}/2\right)^T\).
Grazie mille 
Avevo detto 2pi perchè pensavo che essendo 2pi l'angolo di rotazione si andasse a sostituire all'interno proprio quello
Avevo detto 2pi perchè pensavo che essendo 2pi l'angolo di rotazione si andasse a sostituire all'interno proprio quello
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