Sup di una funzione

[Aletzunny1]

Sto incontrando difficoltà in questo esercizio e non so come uscirne

Trovare il $Sup$ di $g(t)=e^(-t^2)-e^(-x^2)$ dove $t in [x-1/n,x+1/n]$

$g'(t)=-2t*e^(-t^2)=0$ se e solo se $t=0$

dunque $g(t)<=g(0)=1-e^(-x^2)$
e $g(t)$ ha il $Sup$ in $t=0$ e vale $1-e^(-x^2)$

Tuttavia ho molti dubbi...qualcuno può darmi una mano?
Grazie

[Aletzunny1]

No scusami ma mi sono perso ancora...
Se ho capito bene ci sono queste opzioni:

Consideriamo $|g(t)|$ per l'integrale successivo. Distinguiamo i casi $x=0$ e $x!=0$ . Allora se $x=0$ $t in [-1/n;1n]$ e il $Sup |g(t)|$ è assunto in $t=-1/n$.

Mentre se $0 notin [x-1/n;x+1/n]$
Allora poiché $g(t)$ è pari posso considerare che $[x-1/n;x+1/n]>0$ e il $Sup |g(t)|$ è in $t=x-1/n$

Ci sono oppure sono fuori strada?
Grazie

[Studente Anonimo]

"Aletzunny":
Consideriamo $|g(t)|$ per l'integrale successivo.

Nell'integrale che tu hai scritto mi pare vi sia \( \left| g(t) \right| \) e non \( g(t) \).

"Aletzunny":
Allora se $x=0$ $t in [-1/n;1n]$ e il $Sup |g(t)|$ è assunto in $t=-1/n$.

Sì, \( g(t)=e^{-t^2} -1 \leq 0 \) per ogni \( t \in \mathbb{R} \), con massimo in \( t=0 \), e dunque \( \max_{t \in \mathbb{R} } g(t) = g(0)= 0 \). Mentre \( \inf_{t \in \mathbb{R}} g(t) = - 1 \).
Ora se prendi però modulo ottieni \( \left| g(t) \right| = 1 - e^{-t^2 } \) possiede minimo \( \min_{t \in \mathbb{R} } \left| g(t) \right| = \left| g(0) \right| =0\) e supremum in \( \sup_{t \in \mathbb{R} } \left| g(t) \right| = 1 \).
Poiché più cresce \(t\) in valore assoluto, e più \(e^{-t^2} \) si avvicina a zero e segue che \( \left| g(t) \right| \) si avvicina a 1 in modo crescente.
Dunque restringendosi agli intervalli \( [-1/n,1/n] \) il max è raggiunto con \(t=-1/n \) e con \(t=1/n\) poiché è simmetrico sia l'intervallo sia perché la funzione è pari.

"Aletzunny":
Mentre se $0 notin [x-1/n;x+1/n]$
Allora poiché $g(t)$ è pari posso considerare che $[x-1/n;x+1/n]>0$ e il $Sup |g(t)|$ è in $t=x-1/n$

Qui sbagli!!
Supporre \(x \neq 0 \) e \( 0 \not\in [x-1/n,x+1/n] \) sono due cose diverse!
Se \( x \neq 0 \) e se \( n \geq N \), dove \( N \) è quell'intero positivo minimale tale per cui \( \left| x \right| > 1/N \), allora abbiamo che \( x - 1/n > 0 \) oppure \( x+1/n < 0 \) e dunque \( 0 \not\in [x-1/n,x+1/n] \). Da cui segue che
\[ \sup_{t \in [x-1/n,x+1/n]} \left| g(t) \right| = \max \{ \left| g(x-1/n) \right| , \left| g(x+1/n) \right| \} \]

Qui è importante escludere lo zero dall'intervallo perché a differenza del caso \(x=0 \), il sup dipende anche da \(n \), nel senso che potrebbe cambiare a seconda e non essere raggiunto negli estremi dell'intervallo.