Sup di una funzione
Sto incontrando difficoltà in questo esercizio e non so come uscirne
Trovare il $Sup$ di $g(t)=e^(-t^2)-e^(-x^2)$ dove $t in [x-1/n,x+1/n]$
$g'(t)=-2t*e^(-t^2)=0$ se e solo se $t=0$
dunque $g(t)<=g(0)=1-e^(-x^2)$
e $g(t)$ ha il $Sup$ in $t=0$ e vale $1-e^(-x^2)$
Tuttavia ho molti dubbi...qualcuno può darmi una mano?
Grazie
Trovare il $Sup$ di $g(t)=e^(-t^2)-e^(-x^2)$ dove $t in [x-1/n,x+1/n]$
$g'(t)=-2t*e^(-t^2)=0$ se e solo se $t=0$
dunque $g(t)<=g(0)=1-e^(-x^2)$
e $g(t)$ ha il $Sup$ in $t=0$ e vale $1-e^(-x^2)$
Tuttavia ho molti dubbi...qualcuno può darmi una mano?
Grazie
Risposte
Hai una funzione monotona su un intervallo chiuso quindi...
Non ho compreso perdonami! Perché monotona? Non dipende da $g'(t)$?
Ho provato a ragionarci su ancora ma non sono riuscito ancora a dimostrare sia perché $g(t)$ è monotona
Tuttavia penso di esserci arrivato sull'altra conseguenza:l'insieme chiuso e limitato è $[x-1/n;x+1/n]$ e dunque se fosse monotona crescente (non ho capito come trovarlo) allora il $sup=max$ sarebbe assunto in $t=x+1/n$
Tuttavia penso di esserci arrivato sull'altra conseguenza:l'insieme chiuso e limitato è $[x-1/n;x+1/n]$ e dunque se fosse monotona crescente (non ho capito come trovarlo) allora il $sup=max$ sarebbe assunto in $t=x+1/n$
Qual'è la definizione di funzione monotona crescente e monotona decrescente?
Ps: comunque a scanso di equivoci intendevo che è monotona non su \( \mathbb{R} \) ma se \( 0 \not\in [x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n} ] =: I \) è monotona sull'intervallo \( I \).
Il caso in cui \( 0 \in I \) lo hai già trattato.
Ps: comunque a scanso di equivoci intendevo che è monotona non su \( \mathbb{R} \) ma se \( 0 \not\in [x - \frac{1}{n}, x + \frac{1}{n} ] =: I \) è monotona sull'intervallo \( I \).
Il caso in cui \( 0 \in I \) lo hai già trattato.
Bhe una funzione $f$ è monotona crescente se $AA x_1f(x_2)$
Ma non capisco la distinzione tra $0 in I$ e $0 in\ I$ e perché in questo secondo caso allora la funzione è monotona (crescente?)
Ma non capisco la distinzione tra $0 in I$ e $0 in\ I$ e perché in questo secondo caso allora la funzione è monotona (crescente?)
Attento che è un \( \leq \) rispettivamente un \( \geq \).
Ad ogni modo, come si capisce se una funzione è monotona su di un intervallo \( I \) ?
edit: una funzione derivabile ovviamente.
Ad ogni modo, come si capisce se una funzione è monotona su di un intervallo \( I \) ?
edit: una funzione derivabile ovviamente.
Qui ti rispondo dicendoti "qui casca l'asino"
Ho sempre usato la derivata per testare se una $f$ fosse monotona.
Ma non mi viene in mente come verificare la monotonia in $I$...
P.S:forse dovrei vedere se $g'(t)>0$ o $g'(t)<0$ in tutto $I$
Ho sempre usato la derivata per testare se una $f$ fosse monotona.
Ma non mi viene in mente come verificare la monotonia in $I$...
P.S:forse dovrei vedere se $g'(t)>0$ o $g'(t)<0$ in tutto $I$
"Aletzunny":
Qui ti rispondo dicendoti "qui casca l'asino"
Ho sempre usato la derivata per testare se una $f$ fosse monotona.
Ma non mi viene in mente come verificare la monotonia in $I$...
P.S:forse dovrei vedere se $g'(t)>0$ o $g'(t)<0$ in tutto $I$
Dai dai che ci sei... se una funzione \(f\) definita in \(I\) ha derivata [...] allora la funzione \(f\) è monotona su \(I\). Pensa al significato geometrico di derivata
Una volta che hai capito questo spezza in 3 casi
1) \( [x- 1/n , x+1/n] \subset (-\infty,0) \)
2) \( 0 \in [x- 1/n , x+1/n] \)
3) \( [x- 1/n , x+1/n] \subset (0,\infty) \)
E se hai capito ti apparirà chiaro perché devi trattare questi 3 casi.
Ps: A dire il vero ti bastano solo i casi 1 e 2 (oppure 2 e 3) e concludi per simmetria (parità) di \(g(t)\).
1) \( [x- 1/n , x+1/n] \subset (-\infty,0) \)
2) \( 0 \in [x- 1/n , x+1/n] \)
3) \( [x- 1/n , x+1/n] \subset (0,\infty) \)
E se hai capito ti apparirà chiaro perché devi trattare questi 3 casi.
Ps: A dire il vero ti bastano solo i casi 1 e 2 (oppure 2 e 3) e concludi per simmetria (parità) di \(g(t)\).
Allora rispondo solo ora perché ho provato a fare tutti i conti...
$g(t)=g(-t)=e^(-t^2)-e^(-x^2)$ e dunque $g(t)$ è una funzione pari.
Quindi studio solamente il caso $ [x-1/n;x+1/n] sube (0,+infty)$
Se $0 notin [x-1/n;x+1/n]$ allora $g(t)$ è una funzione monotona decrescente e assume il suo $Sup$ per $t=x-1/n$
Se $0 in [x-1/n;x+1/n]$ allora $g(t)$ assume il $Sup$ in $t=0$
Ora cerco di continuare l'esercizio (prima non l'avevo scritto perché non aveva senso senza aver fatto prima lo studio di $g(t)$)
Dimostrare che $n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt ->0$
Considero 2 casi:
Se il $Sup=x-1/n$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt$ $<=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-(x-1/n)^2)-e^(-x^2)| dt$ $=2*|(e^(-x^2-1/n^2+2x/n))-e^(-x^2)|$ $->0$ per $n->+infty$
Se il $Sup=0$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt$ $<=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-0)-e^(-x^2)| dt$ $=1-e^(-x^2)$
E dunque non so più come andare avanti.
Grazie
$g(t)=g(-t)=e^(-t^2)-e^(-x^2)$ e dunque $g(t)$ è una funzione pari.
Quindi studio solamente il caso $ [x-1/n;x+1/n] sube (0,+infty)$
Se $0 notin [x-1/n;x+1/n]$ allora $g(t)$ è una funzione monotona decrescente e assume il suo $Sup$ per $t=x-1/n$
Se $0 in [x-1/n;x+1/n]$ allora $g(t)$ assume il $Sup$ in $t=0$
Ora cerco di continuare l'esercizio (prima non l'avevo scritto perché non aveva senso senza aver fatto prima lo studio di $g(t)$)
Dimostrare che $n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt ->0$
Considero 2 casi:
Se il $Sup=x-1/n$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt$ $<=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-(x-1/n)^2)-e^(-x^2)| dt$ $=2*|(e^(-x^2-1/n^2+2x/n))-e^(-x^2)|$ $->0$ per $n->+infty$
Se il $Sup=0$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2)| dt$ $<=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-0)-e^(-x^2)| dt$ $=1-e^(-x^2)$
E dunque non so più come andare avanti.
Grazie
Allora scrivere \( \sup = x -1/n \) risp. \( \sup = 0 \) è formalmente scorretto, dovresti scrivere \( \sup_{t \in I} g(t) = e^{-(x-1/n)^2} - e^{-x^2} \) e risp. \( \sup_{t \in I} g(t) = 1- e^{-x^2} \). Ma ho capito cosa intendi.
Ad ogni modo i due casi che devi considerare sono \( x \neq 0 \) e \( x = 0 \).
Questo perché - se con un abuso di notazione, perché dimentichiamo la dipendenza rispetto a \(x\) - chiamiamo \( I_n = [x - 1/n, x+1/n] \) allora risulta chiaramente che se \(n \leq m \) allora segue che \( I_m \subseteq I_n \) poiché \[ x-1/n \leq x-1/m< x+1/m \leq x+1/n \]
Caso 1: \( x \neq 0 \). Supponi \(x > 0 \) (risp. \( x <0 \) ).
Consideriamo solo gli \( n \geq N \), dove \(N \) è tale che \( x > 1/N \) ( risp. \( x < - 1/N \) ), e segue che \( 0 \not\in I_N \subset (0,\infty) \) (risp. \( 0 \not\in I_N \subset (-\infty, 0 ) \) ).
Prova a giustificare l'esistenza di questo \(N\) e perché possiamo considerare solo gli \(n \geq N \).
Segue, con \(x>0 \), per quanto detto sopra che per ogni \( n \geq N \) risulta che \( 0 \not\in I_n \). Dunque per ogni \( n \geq N \) abbiamo che \( \sup_{t \in I_n } g(t) = e^{-(x-1/n)^2} - e^{-x^2} \). Ora puoi procedere come nel tuo caso 1.
Caso 2: \(x=0 \), prova a trattarlo tu e perché è importante distinguerlo dal caso 1.
Ad ogni modo i due casi che devi considerare sono \( x \neq 0 \) e \( x = 0 \).
Questo perché - se con un abuso di notazione, perché dimentichiamo la dipendenza rispetto a \(x\) - chiamiamo \( I_n = [x - 1/n, x+1/n] \) allora risulta chiaramente che se \(n \leq m \) allora segue che \( I_m \subseteq I_n \) poiché \[ x-1/n \leq x-1/m< x+1/m \leq x+1/n \]
Caso 1: \( x \neq 0 \). Supponi \(x > 0 \) (risp. \( x <0 \) ).
Consideriamo solo gli \( n \geq N \), dove \(N \) è tale che \( x > 1/N \) ( risp. \( x < - 1/N \) ), e segue che \( 0 \not\in I_N \subset (0,\infty) \) (risp. \( 0 \not\in I_N \subset (-\infty, 0 ) \) ).
Prova a giustificare l'esistenza di questo \(N\) e perché possiamo considerare solo gli \(n \geq N \).
Segue, con \(x>0 \), per quanto detto sopra che per ogni \( n \geq N \) risulta che \( 0 \not\in I_n \). Dunque per ogni \( n \geq N \) abbiamo che \( \sup_{t \in I_n } g(t) = e^{-(x-1/n)^2} - e^{-x^2} \). Ora puoi procedere come nel tuo caso 1.
Caso 2: \(x=0 \), prova a trattarlo tu e perché è importante distinguerlo dal caso 1.
Se ho capito bene quindi il caso della risoluzione dell'integrale è corretto...no?
Ora sperando di aver capito bene, è importante distinguere il caso $0 in [x-1/n;x+1/n]$ perché in tal caso la funzione $e^(-t^2)$ vi assume lì il $Sup=max$ in quanto $e^(-x^2)$ va trattata come una costante.
Tuttavia in questo secondo caso non riesco a dimostrare l'affermazione iniziale sull'integrale. Ho sbagliato qualche calcolo oppure nel caso in cui $0 in [x-1/n;x+1/n]$ allora tale integrale non tende a zero bensì tende proprio a $1-e^(-x^2)$?
Grazie
Ora sperando di aver capito bene, è importante distinguere il caso $0 in [x-1/n;x+1/n]$ perché in tal caso la funzione $e^(-t^2)$ vi assume lì il $Sup=max$ in quanto $e^(-x^2)$ va trattata come una costante.
Tuttavia in questo secondo caso non riesco a dimostrare l'affermazione iniziale sull'integrale. Ho sbagliato qualche calcolo oppure nel caso in cui $0 in [x-1/n;x+1/n]$ allora tale integrale non tende a zero bensì tende proprio a $1-e^(-x^2)$?
Grazie
Hai letto quello che ti ho scritto?
I casi da trattare non sono \( 0 \in [x-1/n, x+1/n] \) e \( 0 \not\in [x-1/n, x+1/n] \) ma \(x \neq 0 \) e \(x= 0 \).
I casi da trattare non sono \( 0 \in [x-1/n, x+1/n] \) e \( 0 \not\in [x-1/n, x+1/n] \) ma \(x \neq 0 \) e \(x= 0 \).
Allora non mi è chiaro, anche rileggendo il post precedente, il perché si debba distinguere i casi $x!=0$ e $x=0$ e ciò mi lascia perplesso (non lo capisco!)
Tuttavia assumendo "buoni" questi due casi e sfruttando la partità di $g(t)$ se ho capito bene allora:
Il caso $x!=0$ anche per l'integrale è corretto.
Nel caso invece in cui $x=0$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2) dt$ $=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-1|dt$ $<=
n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |1-1| dt$ $=0$ come si voleva...
Tuttavia assumendo "buoni" questi due casi e sfruttando la partità di $g(t)$ se ho capito bene allora:
Il caso $x!=0$ anche per l'integrale è corretto.
Nel caso invece in cui $x=0$ allora
$n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-e^(-x^2) dt$ $=n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |e^(-t^2)-1|dt$ $<=
n*\int_{x-1/n}^{x+1/n} |1-1| dt$ $=0$ come si voleva...
Se \(x \neq 0 \)
Se \( x = 0 \) esiste questo \( N \) ??
ps: lascia stare per il momento gli integrali, cerca di capire cosa stai facendo.
"3m0o":
Prova a giustificare l'esistenza di questo \(N\) e perché possiamo considerare solo gli \(n \geq N \).
Se \( x = 0 \) esiste questo \( N \) ??
ps: lascia stare per il momento gli integrali, cerca di capire cosa stai facendo.
non ho capito onestamente da dove esca questa $N$ e come varia nei casi $x!=0$ e $x=0$
E quindi praticamente sono bloccato lì: quell' $n>=N$ mi ricorda la convergenza di successioni però anche in questo caso non riesco a collegarmi con l'insieme $[x-1/n;x+1/n]$ e l'importanza di $x!=0$ e $x=0$
"Aletzunny":
quell' $ n>=N $ mi ricorda la convergenza di successioni
E tu cosa stai facendo?
Fissa \(x \in \mathbb{R} \) allora hai la successione:
\[ J_n := n \int_{[x-1/n,x+1/n]} g(t)dt \]
Tu stai calcolando il limite \( \lim\limits_{n \to \infty} J_n \)
"Aletzunny":
non ho capito onestamente da dove esca questa $ N $ e come varia nei casi $ x!=0 $ e $ x=0 $
1) Fissa \(x > 0 \), ad esempio \(x= 0.6785849 \), domandati se puoi trovare un naturale minimale \(N\) tale che \( x > 1/N \) ? Se sì perché?
1.1) Per \( n < N \) hai che \( 1/n \geq x > 1/N \). Qual 'è il \( \sup \) di \(g(t) \) sugli intervalli \( [x-1/n,x+1/n] \) ?
1.2) Per \( n \geq N \) hai che \( x > 1/N \geq 1/n \). Qual'è il \( \sup \) di \(g(t) \) sugli intervalli \( [x-1/n,x+1/n] \) ?
1.3) Stai facendo un limite con \(n \to \infty \) i termini \( n < N \) sono importanti?
1.4) Una volta che hai riflettuto alle domande precedenti, prova a dire nei seguenti passaggi dove utilizzi il fatto che \( n \geq N \), perché è importante che \( n \geq N \) e perché è legittimo.
\[ n \int_{[x-1/n,x+1/n]} \left|g(t) \right| dt \leq n \int_{[x-1/n,x+1/n]} \sup_{[x-1/n,x+1/n]} \left|g(t) \right| dt \]
\[ = n \cdot \sup_{[x-1/n,x+1/n]} \left|g(t) \right| \int_{[x-1/n,x+1/n]} 1 dt = n \left| e^{-(x-1/n)^2} - e^{-x^2} \right| \left( x+1/n - x + 1/n \right) \]
\[ = 2 \left| e^{-x^2} e^{2x/n} e^{- 1/n^2} - e^{-x^2} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
2) In modo analogo poniti delle domande simili e prova a risponderti per \( x < 0 \) e \( N \) minimale tale che \( x < -1/N\).
3) Se \(x=0 \) puoi trovare un naturale minimale \(N\) tale che \( 0=x > 1/N \) ? Oppure \( 0=x < -1/N \) ?
3.1) Qual 'è il \( \sup \) di \( g(t) \) sugli intervalli \( [x-1/n,x+1/n] =[-1/n,1/n]\), per ogni \( n \in \mathbb{N} \) ? E qual'è il \( \sup \) di \( \left| g(t) \right| \) su \([-1/n,1/n] \)?
Per \(n \) arbitrario hai che se \(x=0\).
\[ n \int_{[-1/n,1/n]} \left|g(t) \right| dt \leq n \int_{[-1/n,1/n]} \sup_{[-1/n,1/n]} \left|g(t) \right| dt \]
\[ = n \cdot \sup_{[-1/n,1/n]} \left|g(t) \right| \int_{[-1/n,1/n]} 1 dt = n \left| e^{-1/n^2} - 1 \right| \left(1/n + 1/n \right) = 2 \left| e^{-1/n^2} - 1 \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \]
1) sì
1.1)ho un dubbio, non mi è ben chiaro
1.2) $t=(x-1/n)$ perché $g(t)$ è decrescente
1.3)No assolutamente
1.4) nel $<=$ e quando si prende $t=(x-1/n)$
2)Non mi è chiarissimo, ma posso sfruttare la parità di $g(t)$?
3)no, non esiste $N$
3.1) $t=(x-1/n)$ perché $g(t)$ è decrescente. Il sup di $g(t)$ è lo stesso perché $g(-1/n)=g(1/n)$
P.S.: dunque la distinzione $x!=0$ e $x=0$ è neccessario perché non esiste l'$N$ per $x=0$ giusto?
Grazie
1.1)ho un dubbio, non mi è ben chiaro
1.2) $t=(x-1/n)$ perché $g(t)$ è decrescente
1.3)No assolutamente
1.4) nel $<=$ e quando si prende $t=(x-1/n)$
2)Non mi è chiarissimo, ma posso sfruttare la parità di $g(t)$?
3)no, non esiste $N$
3.1) $t=(x-1/n)$ perché $g(t)$ è decrescente. Il sup di $g(t)$ è lo stesso perché $g(-1/n)=g(1/n)$
P.S.: dunque la distinzione $x!=0$ e $x=0$ è neccessario perché non esiste l'$N$ per $x=0$ giusto?
Grazie
"Aletzunny":
1) sì
E perché?
"Aletzunny":
1.1)ho un dubbio, non mi è ben chiaro
Quale dubbio? Pensa che se \( 1/n \geq x \) allora \( x-1/n...\) e dunque nell'intervallo \( [x-1/n,x+1/n] \) che numero c'è??
"Aletzunny":
1.4) nel $<=$ e quando si prende $t=(x-1/n)$
No puoi sempre minorarlo per il sup, lo usi solo per dire che il sup è raggiunto con \(t=x-1/n \).
"Aletzunny":
2)Non mi è chiarissimo, ma posso sfruttare la parità di $g(t)$?
Si, ma ad ogni modo nell'integrale prendi il modulo di \( \left| g(t) \right| \) il grafico è simmetrico per parità di \(g\), quindi...
"Aletzunny":
3.1) $t=(x-1/n)$ perché $g(t)$ è decrescente. Il sup di $g(t)$ è lo stesso perché $g(-1/n)=g(1/n)$
Ti rammento che qui siamo nel caso \(x=0\).
Ma scusami... abbiamo detto che se \( 0 \in [x-1/n,x+1/n] \) allora il sup di \(g(t) \) è raggiunto con \( t= 0 \). Pensa all'intervallo \( [-1/n,1/n] \).
In secondo luogo attento che \( \sup_{t \in [-1/n,1/n]} g(t) \neq \sup_{t \in [-1/n,1/n]} \left| g(t) \right| \), pensa al grafico!
"Aletzunny":
P.S.: dunque la distinzione $x!=0$ e $x=0$ è neccessario perché non esiste l'$N$ per $x=0$ giusto?
Esatto, perché ogni intervallo \( [-1/n,1/n] \) contiene lo zero. Ma direi più che altro che il caso \(x=0 \) è quello che non crea problemi perché per ogni \(n \) il \( \sup_{t \in [-1/n,1/n]} \left| g(t) \right| \) lo conosci. Mentre se \(x \neq 0 \) allora \( \sup_{t \in [x-1/n,x+1/n]} \left| g(t) \right| \) dipende anche dal valore di \(n\), però stai facendo un limite quindi puoi prendere gli \(n\) grandi a sufficienza e sei a posto.
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