$\sum_{n=1}^(+oo) (-1)^n tg(n^4/(n^5+5))x^n$
"Si consideri la serie $\sum_{n=1}^(+oo) (-1)^n tg(n^4/(n^5+5))x^n$. Determinare l'insieme $I$ dei valori del parametro $x$ per cui la serie converge." Sembra sia una serie numerica a segno alterno che una serie di potenze, non so se la devo trattare solo come una serie di potenze e considerare $(-1)^n tg(n^4/(n^5+5))=a_n$, in ogni caso anche facendo così non riesco a liberarmi della tangente, qualcuno ha qualche idea? Grazie
Risposte
Da come è impostato l'esercizio, sembra una serie numerica dipendente da un parametro. Io direi che, per prima cosa, puoi studiarti la convergenza assoluta. Osserva che per la tangente hai il confronto locale seguente
$\tan({n^4}/{n^5+5})\sim\tan\frac{n^4}{n^5}=\tan\frac{1}{n}\sim1/n$ per $n\to+\infty$
Inoltre visto che $0<{n^4}/{n^5+5}<1<\pi/2$ segue che i valori della tangente sono sempre positivi.
$\tan({n^4}/{n^5+5})\sim\tan\frac{n^4}{n^5}=\tan\frac{1}{n}\sim1/n$ per $n\to+\infty$
Inoltre visto che $0<{n^4}/{n^5+5}<1<\pi/2$ segue che i valori della tangente sono sempre positivi.
"ciampax":
Da come è impostato l'esercizio, sembra una serie numerica dipendente da un parametro. Io direi che, per prima cosa, puoi studiarti la convergenza assoluta. Osserva che per la tangente hai il confronto locale seguente
$\tan({n^4}/{n^5+5})\sim\tan\frac{n^4}{n^5}=\tan\frac{1}{n}\sim1/n$ per $n\to+\infty$
Inoltre visto che $0<{n^4}/{n^5+5}<1<\pi/2$ segue che i valori della tangente sono sempre positivi.
Quindi seguendo il tuo ragionamento si ha che il $lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5+5))=0$ ?
"kickbox":
Quindi seguendo il tuo ragionamento si ha che il $lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5+5))=0$ ?
Forse hai seguito male il ragionamento di Ciampax. Quello che hai scritto tu doveva esserti evidente ad una prima occhiata. La serie dei valori assoluti è equivalente alla serie $sum 1/n |x|^n$ .
Allora vediamo di fare una cosa alla volta così dove mi perdo mi venite in contro. Innanzitutto
"ciampax":cosa intendi quando dici che la serie dipende da un parametro?
Da come è impostato l'esercizio, sembra una serie numerica dipendente da un parametro.
"ciampax":Quindi studiamo la convergenza semplice di $\sum_{n=1}^(+oo) |tg(n^4/(n^5+5))x^n|$, per farlo
Io direi che, per prima cosa, puoi studiarti la convergenza assoluta.
"ciampax":con questo mi stai facendo notare che $lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5+5))=lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5))=lim_(n->+oo) tg(1/n)=0$ ?
Osserva che per la tangente hai il confronto locale seguente
$\tan({n^4}/{n^5+5})\sim\tan\frac{n^4}{n^5}=\tan\frac{1}{n}\sim1/n$ per $n\to+\infty$
"ciampax":e con questo si evince che si può togliere il valore assoluto perchè i valori della tangente sono sempre positivi?
Inoltre visto che $0<{n^4}/{n^5+5}<1<\pi/2$ segue che i valori della tangente sono sempre positivi.
"Seneca":Ecco, ma questo deriva da $lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5+5))=lim_(n->+oo) tg(n^4/(n^5))=lim_(n->+oo) tg(1/n)=0$? Come mai riporti $1/n$?
La serie dei valori assoluti è equivalente alla serie $sum 1/n |x|^n$ .
Ma tu hai mai sentito parlare del criterio del confronto asintotico????
Si, mi permette di capire, conoscendo il rapporto che c'è tra 2 serie, se una delle due converge o diverge, l'altra si comporta di conseguenza, ovviamente te l'ho detto in modo sbrigativo, ma non capisco dove lo avresti applicato?
Io ho scritto che $\tan\frac{n^4}{n^5+5}\sim\frac{1}{n}$, pertanto la tua serie si confronta con $\frac{(-1)^n x^n}{n}$... Eddai, ma farlo funzionare un po' il cervello?
Ok ci sono
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