$ sum_(n = 1)^(+oo)(x/n)e^(x n) $

[pocholoco92]

salve
ho problemi con un esercizio sul trovare l'insieme di convergenza di questa serie

$ sum_(n = 1)^(+oo)(x/n)e^(x n) $

non riesco a capire con cosa potrei minorarla o a trovare qualcosa che abbia lo stesso comportamento
qualche aiuto??

[pocholoco92]

avevo pensato visto che non penso si possa minorare, di considerare innanzitutto la condizione necessaria per la convergenza di una serie ovvero che il termine noto sia infinitesimo e

$ lim_(n -> +oo) x/n e^(nx) = 0 $

se e solo se $ xleq 0 $

ora la serie data con $ xleq 0 $ dovrebbe convergere quindi l'insieme di convergenza è $ x in (-oo, 0] $
è giusto il ragionamento??

[Quinzio]

Si è giusto.

[gugo82]

La serie si riconduce ad una serie di potenze portando \(x\) fuori dalla sommatoria e facendo un cambiamento di variabile per calcolare eplicitamente la somma della serie rimanente.
Per il resto, vedi qui.

[pocholoco92]

grazie mille adesso è chiaro perche il cambiamento di variabile per portare una serie di funzioni a serie di potenze lo sapevo fare ma mi perdevo il passaggio del poter portare fuori la x e quindi non sapevo proseguire

facendo i calcoli risulta $ y=e^x in [-1,1) $, quindi $e^x<1$ e $e^x geq 1$ da cui risulta che $ x in (-oo,0) $
considerando che a serie era diventata

$ x sum_(n = 1)^(+oo)(1/n)e^(nx) $

aggiungiamo $x=0 $ alla soluzione e in definitiva abbiamo che l'insieme di convergenza è dato da

$x in (-oo, o] $

convergenza uniforme in $x in [K, log(A)]$ con $ K in RR $ e $ A in (0,1) $

quindi in fondo senza ragionare cosi, il mio ragionamento era giusto lo stesso per arrivare alla soluzione??