Sull'esistenza di una successione u.c. all'identità

[j18eos]

CIa0 ragazzi,

non ho la benché minima idea di come approcciarmi al seguente esercizio tratto da "Hirsch - Lacômbe Elements of functional analysis".

Siano \((X;d)\) uno spazio metrico precompatto, \(C(X)\) lo spazio vettoriale reale delle funzioni continue da \(X\) ad \(\mathbb{R}\) con le opportune topologie, la cui metrica sia \(\|\cdot\|_{\infty}\), \(L(C(X)\) lo spazio vettoriale delle funzioni lineari e continue di \(C(X)\) in sé!
Dimostrare che esiste una successione \(\{P_n\in L(C(X))\}_{n\in\mathbb{N}}\) tale che ogni \(P_n\) abbia rango finito, ovvero:
\[
\forall n\in\mathbb{N},\,\dim P_n(C(X))<+\infty
\]
abbia norma \(1\), sia positivo ovvero:
\[
\forall f\in C(X):\forall x\in X;n\in\mathbb{N},\,f(x)\geq0,\,P_n(f)(x)\geq0
\]
e che:
\[
\forall f\in C(X),\,\lim_n\|P_nf-f\|_{\infty}=0.
\]

Dalla teoria anteposta all'esercizio so che \(C(X)\) è uno spazio di Banach separabile, in particolare ogni \(P_n\) è univocamente determinato dai valori che assume su una famiglia totale per \(C(X)\)...

Suggerimenti?

Una ipotetica reductio ad absurdum la credo impensabile, oppure no?

Grazie.

[dissonance]

Sono questioni tipiche della teoria dell'approssimazione. Se non ricordo male dal corso del prof. Altomare qui a Bari, una tale famiglia \(P_n\) si dice un processo di approssimazione lineare (in più tu richiedi che sia positivo, di rango finito, di norma 1). Per esempio se \(X=[0, 1]\) il sistema degli operatori di Bernstein ha la proprietà richiesta. Prova a cercare un po' sul libro di Altomare:

http://www.emis.de/journals/SAT/papers/13/

sono sicuro che c'è la risposta, spero solo che non sia troppo avanti nel testo.

[dissonance]

Niente, eh? In effetti Altomare si occupa di un problema molto più sofisticato che è quello dell'esistenza di "sottoinsiemi di Korovkin" di \(C(X)\), da usarsi come strumento per controllare la convergenza dei processi lineari di approssimazione. Quindi quel libro è troppo tecnico per poterti essere veramente di aiuto, purtroppo.

Comunque, i polinomi di Bernstein di cui parlavamo prima sono a pagina 101: sono abbastanza sicuro che si tratti del prototipo di processo di approssimazione del tipo richiesto dalla traccia del tuo esercizio. Si tratta quindi di generalizzare questa costruzione dall'intervallo \([0, 1]\) ad un generico spazio metrico compatto \(X\).

[j18eos]

Non ho scritto nulla perché il teorema di Korovkin è proposto come esercizio più innanzi, assieme ai polinomi di Bernstein; specifico che quest'ultimo esercizio è incentrato su \(C([0;1];\mathbb{R})\)!

Preferisco arrivare prima a questo esercizio, svolgerlo eppoi tornare su quello in sospeso.

In attesa di sviluppi, ti ringrazio!