Sulle proprietà dell'$o$ piccolo

[Paolo902]

Riprendiamo qui una discussione cominciata con l'amico Seneca qui: ci è parso di andare OT in quel topic, per cui abbiamo deciso di aprirne uno nuovo.

L'intento del topic è quello di discutere a proposito degli $o$-piccolo e delle loro proprietà. Pensiamo che ciò sia utile e istruttivo, soprattutto per chi sta preparando Analisi I, come il sottoscritto (:D ).

In particolare, ci si propone di dimostrare alcune delle proprietà seguenti:



Comincio io, cercando di dimostrare la prima. Spoilerizzo per correttezza.

Vogliamo mostrare che $o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$.

Sia dunque $f(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha dunque $lim_(x to x_0) (f(x))/x^n=0$. Moltiplicando per due ambo i membri, si ha (la costante non dà problemi sul risultato del limite)

$lim_(x to x_0) (2f(x))/x^n=0$ che equivale a $lim_(x to x_0) (f(x)+f(x))/x^n=0$ da cui la tesi per definizione di $o$-piccolo. [tex]\square[/tex]

Un grazie ancora a Seneca per la tabella.
Passo la palla a chiunque voglia partecipare.



EDIT: ho ricaricato la tabella, grazie Seneca per averla ri-postata.

[Ticio1]

"dissonance":A cosa tende $x$?

Scusa, non avevo visto la risposta, la $x$ tende ad un $x_0$ qualsiasi.

[asromavale1]

posto che come definizione di "o piccolo" ho la seguente:
si dice che $f(x)$ è per $x\rightarrowx_0$ un "o piccolo" di $g(x)$ se $g(x) $ è infinitesima per $x\rightarrowx_0$ e
$ lim_(x -> x_0)(f(x))/(g(x))=0 $
dimostrare che $x^m*o(x^n)=o(x^(m+n))$
con la definizione equivalente proposta sulla prima pagina va tutto liscio, ma data questa definizione alternativa non riesco a dimostrarlo . qualcuno mi darebbe una mano ?

[Plepp]

"asromavale":
dimostrare che $x^m*o(x^n)=o(x^(m+n))$

Per definizione, $(o(x^n))/x^n\to 0$ per $x\to 0$. Quindi
\[\lim_{x\to 0}\dfrac{x^m o(x^n)}{x^{m+n}}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^m}{x^m}\dfrac{o(x^n)}{x^n}=1\cdot 0=0\]
cioè $x^m o(x^n)=o(x^(m+n))$.
Chiaro?

[asromavale1]

grazie mille