Sulle proprietà dell'$o$ piccolo

[Paolo902]

Riprendiamo qui una discussione cominciata con l'amico Seneca qui: ci è parso di andare OT in quel topic, per cui abbiamo deciso di aprirne uno nuovo.

L'intento del topic è quello di discutere a proposito degli $o$-piccolo e delle loro proprietà. Pensiamo che ciò sia utile e istruttivo, soprattutto per chi sta preparando Analisi I, come il sottoscritto (:D ).

In particolare, ci si propone di dimostrare alcune delle proprietà seguenti:



Comincio io, cercando di dimostrare la prima. Spoilerizzo per correttezza.

Vogliamo mostrare che $o(x^n)+o(x^n)=o(x^n)$.

Sia dunque $f(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha dunque $lim_(x to x_0) (f(x))/x^n=0$. Moltiplicando per due ambo i membri, si ha (la costante non dà problemi sul risultato del limite)

$lim_(x to x_0) (2f(x))/x^n=0$ che equivale a $lim_(x to x_0) (f(x)+f(x))/x^n=0$ da cui la tesi per definizione di $o$-piccolo. [tex]\square[/tex]

Un grazie ancora a Seneca per la tabella.
Passo la palla a chiunque voglia partecipare.



EDIT: ho ricaricato la tabella, grazie Seneca per averla ri-postata.

[Seneca1]

Dimostro la seconda proprietà: $c * o(x^n) = o(c * x^n) = o(x^n)$, $c in RR - {0}$

Dimostriamo che $c * o(x^n) = o(c * x^n) = o(x^n)$, laddove $c in RR - {0}$

Sia dunque $f(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha che $f(x) = omega(x) * x^n$, dove $omega(x) -> 0$ per $x -> x_0$. Moltiplicando ambo i membri per $c (!=0)$, si ha

$c*f(x) = omega(x)* (c * x^n ) = (c * omega(x)) * x^n$

da cui (essendo $c*omega(x) -> 0$ e $omega(x) -> 0$ per ipotesi), per la def. di $o$-piccolo, $c*o(x^n) = o(c*x^n) = o(x^n)$. [tex]\square[/tex]

Spero che la forma vada bene.

[Seneca1]

Utilizzando una definizione di $o$-piccolo equivalente a quella utilizzata poc'anzi, la dimostrazione si può riformulare così:

Dimostriamo che $c * o(x^n) = o(c * x^n) = o(x^n)$, laddove $c in RR - {0}$

Sia dunque $f(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha che $lim_(x -> x_0) (f(x))/x^n = 0$. Moltiplicando e dividendo ambo i membri per $c (!=0)$, si ha:

$lim_(x -> x_0) c/c *(f(x))/(x^n) = 1/c * lim_(x -> x_0) (c*f(x))/(x^n) = c * lim_(x -> x_0) (f(x))/(c*x^n) = 0$

donde la tesi. [tex]\square[/tex]

[Paolo902]

Ok, vediamo la terza proprietà (utilissima, specie negli sviluppi con Taylor) con la definizione equivalente usata da Seneca nel suo primo post sopra.

Vogliamo mostrare che $o(x^n)-o(x^n)=o(x^n)$.

Siano $f(x):A subseteq RR to RR$ e $g:B subseteq RR to RR$ due funzioni reali tali che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$ e $g(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha allora
$f(x)=alpha(x)x^n$ e $g(x)=beta(x)x^n$ dove $alpha(x) to 0$ e $beta(x) to 0$ per $x to x_0$.

Segue

$o(x^n)-o(x^n)=f(x)-g(x)=alpha(x)x^n-beta(x)x^n=(alpha(x)-beta(x))x^n=gamma(x)x^n$ dove $gamma(x)=alpha(x)-beta(x)$. Vale ovviamente (per una nota proprietà dei limiti di funzioni) che $gamma(x) to 0 " per " x to x_0$.

Tesi. [tex]\square[/tex]

[Seneca1]

Ed ecco la quarta proprietà: $x^m * o(x^n)=o(x^(n+m))$

Sia $f(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha allora
$f(x)=omega(x)*x^n$ dove $omega(x) -> 0$ per $x -> x_0$. Quindi

$x^m * f(x) = omega(x)*x^m*x^n = omega(x)* x^(n+m)$

da cui, per la definizione di $o$-piccolo, si ha la tesi.

[tex]\square[/tex]

[Paolo902]

E facciamo cinque (siccome non c'è due senza tre ).

Vogliamo mostrare che $o(x^n)o(x^m)=o(x^(n+m))$.

Siano $f(x):A subseteq RR to RR$ e $g:B subseteq RR to RR$ due funzioni reali tali che $f(x)=o(x^n) " per " x to x_0$ e $g(x)=o(x^m) " per " x to x_0$. Per definizione, si ha allora
$f(x)=alpha(x)x^n$ e $g(x)=beta(x)x^m$ dove $alpha(x) to 0$ e $beta(x) to 0$ per $x to x_0$.

Segue

$o(x^n)o(x^m)=f(x)g(x)=alpha(x)x^nbeta(x)x^m=(alpha(x)beta(x))x^(n+m)=gamma(x)x^(n+m)$ dove $gamma(x)=alpha(x)beta(x)$. Vale ancora una volta (per la proprietà del prodotto di limiti di funzioni) che $gamma(x) to 0 " per " x to x_0$. [tex]\square[/tex]

[Seneca1]

Quindi mi tocca dimostrare la sesta, argh!

$o( o(x^n) )=o(x^n)$

Siano $f:A subseteq RR to RR$ e $g:B subseteq RR to RR$ due funzioni reali tali che $f(x)=o(g(x)) " per " x to x_0$ e $g(x)=o(x^n) " per " x to x_0$. Per definizione:

(1) $f(x)=omega_1(x)*g(x)$
(2) $g(x) = omega_2(x)*x^n$

dove $omega_1(x), omega_2(x) -> 0$ per $x -> x_0$.

Sostituendo la (2) nella (1) si ha:

$ o(o(x^n)) = f(x) = omega_1(x) omega_2(x) * x^n$

Essendo, per ipotesi, $omega_1(x), omega_2(x) -> 0$ per $x->x_0$, per il teorema del limite del prodotto è $omega_1(x)*omega_2(x) -> 0$ per $x -> x_0$.
Da cui la tesi.

[tex]\square[/tex]

[Paolo902]

Siccome me la sono cercata io oggi pomeriggio, facendoti la domanda nell'altro topic, mi pare giusto che sia io a dare la settima dimostrazione.

Diamo un tocco di generalità in più, cosa che si può fare in tutte le precedenti dimostrazioni.

Vogliamo mostrare che $o(f(x)+o(f(x)))=o(f(x))$.

Sia $g(x):A subseteq RR to RR$ una funzione reale tale che $g(x)=o(f(x)) " per " x to x_0$: per definizione, quindi, $g(x)=omega(x)f(x)$ con $omega(x) to 0$ per $x to x_0$.

Notiamo che in un intorno di $x_0$ si ha $f(x)+g(x)=f(x)+omega(x)f(x)=(1+omega(x))f(x)$.

Se prendiamo una funzione reale $h(x): B subseteq RR to RR$ tale che $h(x)=o(f(x)+o(f(x)))=o(f(x)+g(x))=o((1+omega(x))f(x))$ (per $x to x_0$) allora si ha per definizione $h(x)=alpha(x)(1+omega(x))f(x)$ con $alpha(x) to 0$ quando $x to x_0$.

Ribattezzando $beta(x)=alpha(x)(1+omega(x))$ si ha (dal fatto che $alpha(x) to 0$ (per $x_ to x_0$)) che anche $beta(x) to 0$ (per $x_ to x_0$).
Per cui, $h(x)=beta(x)f(x)$.

Nuovamente la tesi.

Rilancio: provare che per ogni $p in RR$ per cui l'espressione ha senso si ha
$[f(x)+o(f(x))]^p=f^p(x)+o(f^p(x))$.

P.S. Grazie per la bella chiacchierata. Peccato non partecipi nessun altro!

[gugo82]

Complimenti per lo scambio... Meglio di Agassi e Sampras.

Ora, per curiosità, vorrei chiedervi la definizione "generale" di [tex]$\text{o}$[/tex]; insomma, si dice che [tex]$\text{$f(x)$ è o piccolo di $g(x)$ intorno ad $x_0$}$[/tex] se...

[Paolo902]

"gugo82":Complimenti per lo scambio... Meglio di Agassi e Sampras.

Grazie per i complimenti.

"gugo82":
Ora, per curiosità, vorrei chiedervi la definizione "generale" di [tex]$\text{o}$[/tex]; insomma, si dice che [tex]$\text{$f(x)$ è o piccolo di $g(x)$ in $x_0$ se}$[/tex]...

Che io sappia ci sono due definizioni equivalenti di $o$-piccolo (ma, ripeto, stando a quel poco che so).

1. Si dice che $f(x)=o(g(x)) " per " x to x_0 iff lim_(x to x_0) f(x)/g(x)=0$

2. Si dice che $f(x)=o(g(x)) " per " x to x_0 iff exists delta(x) " tale che " f(x)=g(x)delta(x) " con " lim_(x to x_0) delta(x)=0$.

Che dici? Sono effettivamente equivalenti?
Curiosità: tu non hai mai usato queste scritture?

Grazie anche a te di tutto.

[gugo82]

Secondo me non sono equivalenti, almeno nelle ipotesi poste... Perchè?

Rispondete, poi dirò la definizione che ho in mente io.
Per ora rispondo alla Curiosità: le uso, anche se non mi piacciono assai.

[Seneca1]

La definizione che ho utilizzato nel secondo post è meno restrittiva.

Consideriamo $f(x) = o(g(x))$, quindi deve esistere una funzione $omega(x)$, la quale è infinitesima per $x -> x_0$, tale che $f(x) = omega(x)*g(x)$.
Se supponiamo che la funzione $g(x)$ sia non identicamente nulla in un intorno del punto $x_0$ (il mio libro, ricordo, lo chiama "comportamento onesto della $g$"), allora la definizione si può dare in altri termini:

$f(x)/g(x) = omega(x)$

$lim_(x-> x_0) f(x)/g(x) = lim_(x-> x_0) omega(x) = 0$

[Paolo902]

"gugo82":Secondo me non sono equivalenti, almeno nelle ipotesi poste... Perchè?

Rispondete, poi dirò la definizione che ho in mente io.
Per ora rispondo alla Curiosità: le uso, anche se non mi piacciono assai.

In effetti sono stato un po' superficiale. Riprovo a dare due definizioni, cercando di essere molto più rigoroso.

Cominciamo da quella che prima era la 2).

Siano $f$ e $g$ due funzioni reali definite su $A subseteq RR$.
Dico che $f$ è o-piccolo di $g$ per $x to x_0$ se e solo se esistono un intorno bucato $I$ di $x_0$ e una funzione $delta(x)$ definita $I nn A$ tali che si abbia $f(x)=g(x)delta(x)$ ($forall x in I nn A$) e $lim_(x to x_0) delta(x)=0$.

La 1) la riformulo analogamente a prima, aggiungendo però che deve essere - perchè tutto abbia senso- $g(x) ne 0, " " forall x in I nnA$.

Va meglio ora?

[Seneca1]

"Paolo90":
Rilancio: provare che per ogni $p in RR$ per cui l'espressione ha senso si ha
$[f(x)+o(f(x))]^p=f^p(x)+o(f^p(x))$.

Interessante! Ed utile...

(*) $[f(x)+o(f(x))]^p=f^p(x)+o(f^p(x))$, per $x -> x_0$


Sia $f: J subseteq RR to RR$ una funzione reale definita in un intorno $J$ di $x_0$ e sia $p$ un numero reale per cui abbia senso la scrittura di cui sopra. Nell'uguaglianza (*), portando a secondo membro $f^p(x)$, si ha:

$[f(x)+o(f(x))]^p - f^p(x) = o(f^p(x))$

che è tanto come scrivere:

$lim_(x -> x_0) ([f(x)+o(f(x))]^p - f^p(x))/(f^p(x)) = 0$

Questa uguaglianza è vera. Infatti:

$lim_(x -> x_0) (f^p(x)[1+(o(f(x)))/(f(x))]^p - f^p(x))/(f^p(x))$

$lim_(x -> x_0) [1+(o(f(x)))/(f(x))]^p - 1$

Per definizione $(o(f(x)))/(f(x)) -> 0$ per $ x -> x_0$

Quindi $lim_(x -> x_0) [1+(o(f(x)))/(f(x))]^p - 1 = 0$

[tex]\square[/tex]

Anche se non so come scrivere le ipotesi sulla $f$ in relazione a $p$.

Secondo voi funziona la dimostrazione?

Salute.

[gugo82]

Riporto la definizione in mio possesso:

Siano [tex]$X\subseteq \mathbb{R}$[/tex], [tex]$f:X\to \mathbb{R}$[/tex] ed [tex]$x_0$[/tex] un p.d.a. per [tex]$X$[/tex]; sia inoltre [tex]$g:Y\to \mathbb{R}$[/tex] con [tex]$Y\subseteq \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$x_0$[/tex] è p.d.a. di [tex]$X\cap Y$[/tex].

Si dice che [tex]$f$[/tex] è o piccolo di [tex]$g$[/tex] intono ad [tex]$x_0$[/tex] se e solo se per ogni [tex]$\varepsilon >0$[/tex] si ha [tex]$|f(x)|\leq \varepsilon \ |g(x)|$[/tex] definitivamente in [tex]$X\cap Y$[/tex] intorno ad [tex]$x_0$[/tex]; o più formalmente, se esiste un [tex]$\delta >0$[/tex] tale che:

[tex]$\forall x\in X\cap Y \cap ]x_0-\delta ,x_0+\delta[ \setminus \{ x_0\} ,\quad |f(x)|\leq \varepsilon \ |g(x)|$[/tex].

Chiaramente, se [tex]$g(x)\neq 0$[/tex] definitivamente in [tex]$X\cap Y$[/tex] intorno a [tex]$x_0$[/tex] (e solo in questo caso), la precedente equivale a dire che:

[tex]$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =0$[/tex].

A voi i commenti.

[dissonance]

Questa definizione è compatibile con quella di "O grande", che invece è (nelle solite ipotesi tecniche che non stiamo a ripetere):
$f=O(g)\ \iff\ |f(x)|\le M |g(x)|$ per una $M>0$.
In effetti così è più carino. Con la definizione data mediante limiti, non si capisce cosa c'entrino $o$ e $O$.

[Seneca1]

Siccome la tabella con le proprietà, che c'era nel primo post, è stata cancellata, la posto qui di seguito (sperando abbia più lunga esistenza!).

[skateskate1]

Ciao, una domanda: la tabella della prima pagina vale anche con i numeri appartenenti a Z?
Perchè altrimenti non saprei come risolvere $x^2*o(1/x^3)$ per x che tende a infinito.
Grazie

[appled]

Grazie per le utilissime dimostrazione.
Non mi e` chiaro un passaggio pero`:

Sia dunque f(x):A⊆R→R una funzione reale tale che \(\displaystyle \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}={o}{\left({{x}}^{{n}}\right)}\ \text{ per }\ {x}\to{x}_{{0}} \)Per definizione, si ha che \(\displaystyle \displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\omega{\left({x}\right)}\cdot{{x}}^{{n}} \), dove \(\displaystyle \displaystyle \omega{\left({x}\right)}\to{0} \) per \(\displaystyle \displaystyle {x}\to{x}_{{0}} \)

Come si ricava dalla definizione che \(\displaystyle {f{{\left({x}\right)}}}=\omega{\left({x}\right)}\cdot{{x}}^{{n}} \) ?

[Ticio1]

Ragazzi, sto preoarando l'esame di Analisi 1 e trovo utilissimo questo post però ci sono tutte le dimostrazioni delle proprietà tranne quella che sto cercando La proprietà che devo dimostrare è che se $ f = o(x^n) $ allora $ f = o(x^m) $ per ogni $ m <= n $ . Mi aiutate per favore?

[dissonance]

A cosa tende $x$?