Sulle disuguaglianze.

[AnalisiZero]

Salve,

Riporto dal libro:

Se è $0<=x_1<=y_1$ e $0<=x_2<=y_2$, allora è $x_1x_2<=y_1y_2$. Inoltre, se $y_1,y_2>0$, e almeno una delle disuguaglianze $x_1<=y_1$ ,$x_2<=y_2$ vale in senso stretto, allora si ha $x_1x_2
Sulla parte in rosso, il fatto che $y_1,y_2>0$ non dovrebbe già implicare che $x_1<=y_1$ ,$x_2<=y_2$ valgono in senso stretto entrambe?

Grazie.

[Bremen000]

Cioè tu stai dicendo che $0<=x_1 <= y_1$ e $y_1 >0$ implica $x_1

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[AnalisiZero]

"Bremen000":Cioè tu stai dicendo che $0<=x_1 <= y_1$ e $y_1 >0$ implica $x_1
Si.
Perché penso che se $x_1$ può essere $0$ e $y_1$ non può esserlo essendo strettamente positivo, allora $y_1$ non può essere uguale a $x_1$.

[Bremen000]

$0<=1<=1$ e $1>0$ ma non è vero che $1<1$...

[axpgn]

Ma quella è una possibilità, non l'unica possibilità ... $x_1<=y_1$ significa $x_1

Cita

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[AnalisiZero]

"Bremen000":$0<=1<=1$ e $1>0$ ma non è vero che $1<1$...

Si questo lo capisco, ma non capisco perché si fanno tutte quelle ipotesi. Forse un controesempio sarebbe d'aiuto.

Grazie.

[axpgn]

Sinceramente non si capisce cosa capisci e cosa no ... e non è la prima volta ... tra l'altro quello appena fornito da Bremen è proprio un controesempio a quello che affermi ...

[AnalisiZero]

"axpgn":Sinceramente non si capisce cosa capisci e cosa no ... e non è la prima volta ... tra l'altro quello appena fornito da Bremen è proprio un controesempio a quello che affermi ...

Ad esempio, sempre riguardo la frase in rosso.
Mi chiedo, e se $y_1,y_2$ fossero solo debolmente positivi? Non cambierebbe nulla? Che bisogno c'è di mettere questa premessa?

[axpgn]

Cosa significa "debolmente positivi"? O sono positivi o non lo sono ...

[AnalisiZero]

"axpgn":Cosa significa "debolmente positivi"? O sono positivi o non lo sono ...

Si scusa. Voglio dire positivi o nulli.

[axpgn]

Se una delle due disuguaglianze in ipotesi fosse stretta ma anche solo uno degli $y$ fosse nullo allora la disuguaglianza finale non sarebbe stretta.

[AnalisiZero]

"axpgn":Se una delle due disuguaglianze in ipotesi fosse stretta ma anche solo uno degli $y$ fosse nullo allora la disuguaglianza finale non sarebbe stretta.

Non riesco a capire il perché di questo fatto , dovrebbe essere intuibile ma non ci arrivo.

[axpgn]

Le condizioni aggiuntive sono due:

1) $0<=x_1
2) $0
Chiaro fin qui?

Se uno dei due, tra $y_1$ e $y_2$, è nullo allora NON è vero che $x_1x_2
In conclusione le due condizioni aggiuntive sono necessarie per giungere alla tesi.

Cordialmente, Alex

[AnalisiZero]

"axpgn":
Se uno dei due, tra $y_1$ e $y_2$, è nullo allora NON è vero che $x_1x_2 Cordialmente, Alex

Questo perché $x_1, x_2$ possono essere $0$, allora se voglio la disuguaglianza stretta devo escludere che $y_1, y_2$ siano $0$, altrimenti otterrei $0<0$ che è falso. Confermi?

Grazie.

[axpgn]

Un po' contorto ma direi di sì ...

[AnalisiZero]

"axpgn":Un po' contorto ma direi di sì ...

Allora ho capito, grazie.

Giusto una curiosità:
se alla condizione che almeno una delle disuguaglianze sia stretta sostituissi "$x_1 != x_2$", sempre con la condizione " $y_1,y_2>0$", otterrei la stessa cosa? Cioè otterrei una disuguaglianza stretta? Si potrebbe provare sostituendo numeri.

Grazie.

[axpgn]

Cioè?
Riscrivi ipotesi e tesi e poi vediamo (altrimenti corriamo il rischio di fraintendimenti ...)

[AnalisiZero]

"axpgn":Cioè?
Riscrivi ipotesi e tesi e poi vediamo (altrimenti corriamo il rischio di fraintendimenti ...)

In realtà ci sto pensando e non è una condizione che va bene, perché ci sono dei casi in cui non è verificata eppure si ha la disuguaglianza stretta, comunque è questa:
Ipotesi
1) $y_1,y_2>0$.
2)$x_1!=x_2$.
Le ipotesi sono riferite chiaramente alla disuguaglianza del primo post.
Tesi:
$x_1x_2 Ma in effetti la seconda ipotesi che ho cambiato non va più bene, ecco un controesempio:
$0<=0<=1$ e $0<=0<=1$.
In questo caso si ha che $x_1=x_2$, cioè $0=0$, eppure la disuguaglianza $0<=1$ vale in senso stretto. Per cui è più "completa" l'ipotesi fatta dal libro, cioè che almeno una delle disuguaglianze $x_1<=y_1$ o $x_2<=y_2$ valga in senso stretto.

[axpgn]

Io vedo tanta confusione ...

Per prima cosa le ipotesi sono tre perché ci devi mettere la disuguaglianza inziale, in secondo luogo la tesi è falsa ma non per l'esempio che hai riportato (che la verifica per altro) ... per smentirla ti basta il caso $x_1=y_1$ e $x_2=y_2$ che contraddice la tesi ma è coerente con tutte e tre le ipotesi

[AnalisiZero]

"axpgn":Io vedo tanta confusione ...

Per prima cosa le ipotesi sono tre perché ci devi mettere la disuguaglianza inziale, in secondo luogo la tesi è falsa ma non per l'esempio che hai riportato (che la verifica per altro) ... per smentirla ti basta il caso $ x_1=y_1 $ e $ x_2=y_2 $ che contraddice la tesi ma è coerente con tutte e tre le ipotesi

Perfetto, ho capito. Grazie mille.

La confusione deriva dal fatto che non ho forse ben chiari i concetti di ipotesi , tesi e implicazione.