Sulla derivata di una funzione analitica
Salve ragazzi, sto facendo idraulica e mi sono imbattuto sulle funzioni analitiche. Volevo chiedervi se avete qualche documento oppure se potete scrivermi qui la dimostrazione che presa una funzione analitica $omega=f(x+iy)$ la sua derivata è unica per ogni valore di $z=x+iy$
Risposte
Un approccio alla teoria delle funzioni analitiche è quello che sfrutta le serie di potenze.
Una funzione complessa $f(z)$ si dice analitica in un aperto $Omega$ se e solo se per ogni punto $z_0\in Omega$ esiste una successione $(a_n)\subset CC$ tale che $f(z)=\sum_(n=0)^(+oo) a_n*(z-z_0)^n$ per ogni $z$ sufficientemente vicino a $z_0$ (ad esempio per $|z-z_0|0$); la serie $\sum a_n*(z-z_0)^n$ viene chiamata elemento analitico di $f$ in $z_0$.
Visto che per le serie di potenze complesse valgono (proprio pari-pari) gli stessi teoremi che si dimostrano in Analisi II per le serie di potenze reali, si può dire che ogni funzione analitica $f$ è di classe $C^oo(Omega)$ e che la sua derivata $f'$ esiste ed è ancora una funzione analitica in $Omega$ la quale ha come elemento analitico in $z_0$ la serie $\sum (n+1)*a_(n+1)*(z-z_0)^n$ (che si ottiene derivando t.a.t. l'elemento analitico di $f$ in $z_0$).
Che la derivata $f'$ sia unica è conseguenza del principio d'identità per le funzioni analitiche.
Un altro approccio è il seguente: la derivata di funzioni complesse è definita come limite del rapporto incrementale, $lim_(Deltaz \to 0) (f(z+Deltaz)-f(z))/(Deltaz)$, ammesso che questo esista finito; quindi se essa esiste ha da essere necessariamente unica.
Buoni libri sulle variabili complesse sono:
- Ahlfors, Complex analysis;
- Lang, Complex analysis;
- Cartan, Elements of the theory of analitic functions of one or several complex variables;
- Greco, Complementi di analisi.
Una funzione complessa $f(z)$ si dice analitica in un aperto $Omega$ se e solo se per ogni punto $z_0\in Omega$ esiste una successione $(a_n)\subset CC$ tale che $f(z)=\sum_(n=0)^(+oo) a_n*(z-z_0)^n$ per ogni $z$ sufficientemente vicino a $z_0$ (ad esempio per $|z-z_0|
Visto che per le serie di potenze complesse valgono (proprio pari-pari) gli stessi teoremi che si dimostrano in Analisi II per le serie di potenze reali, si può dire che ogni funzione analitica $f$ è di classe $C^oo(Omega)$ e che la sua derivata $f'$ esiste ed è ancora una funzione analitica in $Omega$ la quale ha come elemento analitico in $z_0$ la serie $\sum (n+1)*a_(n+1)*(z-z_0)^n$ (che si ottiene derivando t.a.t. l'elemento analitico di $f$ in $z_0$).
Che la derivata $f'$ sia unica è conseguenza del principio d'identità per le funzioni analitiche.
Un altro approccio è il seguente: la derivata di funzioni complesse è definita come limite del rapporto incrementale, $lim_(Deltaz \to 0) (f(z+Deltaz)-f(z))/(Deltaz)$, ammesso che questo esista finito; quindi se essa esiste ha da essere necessariamente unica.
Buoni libri sulle variabili complesse sono:
- Ahlfors, Complex analysis;
- Lang, Complex analysis;
- Cartan, Elements of the theory of analitic functions of one or several complex variables;
- Greco, Complementi di analisi.
Aggiungo alla lista dei libri, se vuoi qualcosa di gratuito e più introduttivo, l'opuscolo di Edoardo Sernesi sull'analisi complessa. Dovrebbe stare da qualche parte sul sito di Roma 3 http://www.mat.uniroma3.it/ .
"dissonance":
Dovrebbe stare da qualche parte sul sito di Roma 3.
Trovata!
Non la conoscevo; dopo me la sfoglio un po'.
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