Sulla definizione di convergenza puntuale

[AnalisiZero]

Ciao,

Leggendo attentamente la definizione di convergenza puntuale di una successione di funzioni:
"Sia $I$ un insieme di numeri reali e sia $f_k:I rightarrow RR$ una successione di funzioni reali definite in $I$. Si dice che $f_k$ converge puntualmente in $I$ verso la funzione $f:I rightarrow RR$, se risulta $lim_(k to +infty)f_k(x)=f(x)$ per ogni $x in I$."
Mi sono chiesto:
Non sarebbe meno restrittiva la definizione, se si dicesse "Sia $I$ un insieme di numeri reali e sia $f_k$ una successione di funzioni reali definite definitivamente in $I$ ecc..." ?

Nel senso che se per esempio una delle funzioni non è definita in $x_0$ e tutte le altre lo sono, io posso comunque fissare $x_0$ e calcolare il limite della successione numerica, o sbaglio?

[anto_zoolander]

Ciao

Supposto che la cosa si possa fare, a cosa servirebbe?

[gugo82]

Ah, ma volendo si potrebbe complicare la faccenda ancora di più... Tipo: siano $D_k subseteq RR$ (definitivamente) non vuoti ed $f_k: D_k -> RR$; si dice che $(f_k)$ converge puntualmente in $x in RR$ se e solo se 1) esiste $kappa in NN$ tale che $x in D_k$ per ogni $k >= kappa$ e 2) la successione numerica $(f_k(x))_(k >= kappa)$ è convergente. L'insieme dei punti in cui la successione $(f_k)$ converge si chiama insieme di convergenza puntuale.

Solo che non ti troverai mai in una situazione tale da avere bisogno di ricorrere ad una definizione simile.