Sulla buona definizione di flusso
Quanto andrò ad esplicitare ha un carattere un po' misterioso, e nasce dalla lettura di un paio di pagine del buon De Marco, Analisi II.
Il tutto ha origine da
E fin qui nessun problema. I fatti "inquietanti" si hanno ora:
Ecco, questo fatto mi sembra quantomeno curioso: infatti analizzando la questione dal punto di vista fisico, essa risulta piuttosto controintuitiva e nonostante le rassicurazioni dell'autore, non viene fornita una caratterizzazione vera e propria delle varietà per le quali si possa dare una buona definizione di flusso... In assenza di precise puntualizzazioni la conseguenza infausta sulle, per esempio, equazioni di Maxwell risulta quindi palese.
Ben accetto ogni commento.
Ringrazio.
Il tutto ha origine da
"De Marco":
8.6.2 Esempio. Flusso del campo \(\vec F (x,y,z)=\vec e_1 x^4 + \vec e_2 y + \vec e_3 z \) attraverso la superficie parametrica \(s(u,v)=\vec e_1 u + \vec e_2 v + \vec e_3 (1- (u^2 + v^2)) \), con \(D=\{(u,v) : u^2 + v^2 \le 1\}\).
Risoluzione. [Calcoli] ... ne segue che il flusso cercato vale \(\pi\).
Se cambiamo la parametrizzazione, facendo in modo che l'immagine \(P\) resti la stessa, cosa succede al flusso? Esso può cambiare: ad esempio, consideriamo la superficie parametrica \(p(u,v)=(u,-v,1-(u^2 + v^2))\), ottenuta dalla precedente operando prima una riflessione rispetto all'asse \(u\) nel piano \(\mathbb{R}^2\) dei parametri, e poi applicando la funzione \(s\). Il flusso cambia di segno: [calcoli].
Questa nuova parametrizzazione ha orientato la superficie in modo opposto: nello stesso punto \((x,y,z=1-(x^2 + y^2))\) della calotta, i due versori normali, quello dato da \(s\) e quello dato da \(p\) sono opposti l'uno dell'altro, come facilmente si controlla.
E fin qui nessun problema. I fatti "inquietanti" si hanno ora:
"De Marco":
Se cambiamo radicalmente la parametrizzazione, lasciando la stessa immagine, l'integrale cambia anche in valore assoluto? In generale sì [segue controesempio].
In questo caso il fatto è che se \(\beta - \alpha > 2 \pi \) la parametrizzazione non è più biiettiva dal dominio all'immagine, come invece era nei casi precedenti. Noi vorremmo potere parlare di integrale esteso al sottoinsieme \(P\) di \(\mathbb{R}^3\), indipendentemente dalla parametrizzazione; dovremo chiaramente avere un'orientazione assegnata. Si può dimostrare che se ci limitiamo a parametrizzazioni che sono biiettive a meno di insiemi di misura \(2\)-dimensionale nulla il flusso è effettivamente ben definito? No, come il successivo esempio del nastro di Moebius mostra. Sì, se ci limitiamo a parametrizzazioni globalmente biiettive e con matrice jacobiana di rango \(2\) in ogni punto; ma questa richiesta esclude importanti casi, tutte le superficie chiuse, in particolare le sfere!
Tuttavia, se ci limitiamo a semplici superficie di uso corrente, e non andiamo a cercare patologie connesse con la non orientabilità, parametrizzazioni biiettive, o biiettive a meno di insiemi di misura \(2\)-dimensionale di misura nulla, danno una buona definizione del flusso indipendente dalla parametrizzazione. Ci accontentiamo di queste assicurazioni, seppure un po' vaghe.
Ecco, questo fatto mi sembra quantomeno curioso: infatti analizzando la questione dal punto di vista fisico, essa risulta piuttosto controintuitiva e nonostante le rassicurazioni dell'autore, non viene fornita una caratterizzazione vera e propria delle varietà per le quali si possa dare una buona definizione di flusso... In assenza di precise puntualizzazioni la conseguenza infausta sulle, per esempio, equazioni di Maxwell risulta quindi palese.
Ben accetto ogni commento.
Ringrazio.
Risposte
Qual è la definizione di flusso che ti fornisce il testo?
Qui leggo solo commenti ad una definizione che non so quale sia...
Qui leggo solo commenti ad una definizione che non so quale sia...
Giusto. Metto anche un po' di preambolo:
"De Marco":
Sia quindi \(E\) aperto di \(A(X) \approx \mathbb{R}^3\). Ricordiamo che una superficie parametrica di classe \(\mathcal{C}^1\) è una funzione \(s: D \to A(X)\), di classe \(\mathcal{C}^1\) su un aperto di \(\mathbb{R}^2\) contenente un compatto elementarmente misurabile \(D \subseteq \mathbb{R}^2\); [...] \(D\) è l'insieme dei parametri, ed al variare dei parametri \((u,v) \in D\) il punto \(s(u,v)\) descrive la superficie parametrica \(s\). ùper ogni fissato \((u,v) \in D\) le derivate parziali \(\partial_u s(u,v)\) e \(\partial_v s(u,v)\) sono vettori di \(X\) paralleli alla superficie in \(s(u,v)\), cosicché il prodotto vettoriale \(\partial_u s(u,v) \times \partial_v s(u,v) \) (per definire il quale dobbiamo anche scegliere un'orientazione in \(X\)) risulta essere normale alla superficie in \(s(u,v)\). Dove tale prodotto vettoriale è nullo si scrive \(\vec \nu_s (u,v)=0\), altrimenti si scrive \[\vec \nu_s (u,v) = \frac{\partial_u s(u,v) \times \partial_v s(u,v)}{|\partial_u s(u,v) \times \partial_v s(u,v)|} \]
\(\vec \nu_s (u,v)\) è il versore normale alla superficie nel punto \(s(u,v)\) (quando non è nullo). Ebbene
Definizione. Sia \(\vec F: E \to X \) campo vettoriale almeno \(\mathcal{C}^0\), e sia \(s: D \to E\) superficie parametrica tracciata in \(E\). Si definisce il flusso di \(\vec F\) attraverso \(E\) \[\langle \vec F, s \rangle \] come l'integrale superficiale (nell'elemento d'area \(d \sigma_s = |\partial_u s(u,v) \times \partial_v s(u,v)|\, du \, dv \)) di \(\vec F \cdot \vec \nu\), esteso alla superficie parametrica \(s\) \[\langle \vec F, s \rangle := \int_s \vec F \cdot \nu_s \, d \sigma_s \]Si ha quindi \[\langle \vec F, s \rangle = \int_D \vec F (s(u,v)) \cdot (\partial_u s(u,v) \times \partial_v s(u,v)) \, du \, dv \]
Beh che il flusso attraverso il nastro di Möbius non sia ben definito non mi sorprende mica. "Flusso" significa "quantità di roba che passa da dentro a fuori", ma se una cosa non ha un "dentro" e un "fuori" siamo nei guai.
Infatti... Credo anch'io che definire il flusso per una superficie non orientabile sia proprio impossibile (o, quanto meno, poco sensato). Quindi quel controesempio lì mi pare un po' inappropriato.
D'altra parte, è proprio la definizione di flusso proposta che non è molto bella. Insomma, sembra che tutto dipenda dalla parametrizzazione, mentre probabilmente il flusso potrebbe essere definito in modo intrinseco, usando l'orientabilità e qualche adeguata misura di superficie; oppure usando direttamente il teorema della divergenza o cose simili.
Ma robe così in un corso di Analisi II non si possono proporre.
D'altra parte, è proprio la definizione di flusso proposta che non è molto bella. Insomma, sembra che tutto dipenda dalla parametrizzazione, mentre probabilmente il flusso potrebbe essere definito in modo intrinseco, usando l'orientabilità e qualche adeguata misura di superficie; oppure usando direttamente il teorema della divergenza o cose simili.
Ma robe così in un corso di Analisi II non si possono proporre.
"gugo82":
[...] D'altra parte, è proprio la definizione di flusso proposta che non è molto bella. Insomma, sembra che tutto dipenda dalla parametrizzazione, mentre probabilmente il flusso potrebbe essere definito in modo intrinseco, usando l'orientabilità e qualche adeguata misura di superficie; oppure usando direttamente il teorema della divergenza o cose simili. [...]
Sì ecco, è quanto mi interesserebbe sapere. Il fatto è che, come dicevo, nel testo la condizione sufficiente enunciata riguarda una "classe ristretta" di superfici (ne sono escluse le sfere), e quindi per quanto ci è dato sapere il modulo del flusso per esempio di un campo magnetico attraverso superfici "sufficientemente belle" potrebbe dipendere dalla parametrizzazione delle superfici stesse, il che è assurdo (almeno dal punto di vista fisico).
La prima cosa che mi viene in mente è definire per superfici sufficientemente regolari ed orientabili:
\[
\Phi (\mathbf{F},S):= \intop_S \langle \mathbf{F}, \nu \rangle\ \text{d} \mathcal{H}^2
\]
in cui \(\nu\) è il campo di versori normali ad \(S\) che ne definisce l'orientazione positiva e \(\mathcal{H}^2\) è la misura di Hausdorff bidimensionale in \(\mathbb{R}^3\)...
\[
\Phi (\mathbf{F},S):= \intop_S \langle \mathbf{F}, \nu \rangle\ \text{d} \mathcal{H}^2
\]
in cui \(\nu\) è il campo di versori normali ad \(S\) che ne definisce l'orientazione positiva e \(\mathcal{H}^2\) è la misura di Hausdorff bidimensionale in \(\mathbb{R}^3\)...
"gugo82":
La prima cosa che mi viene in mente è definire per superfici sufficientemente regolari ed orientabili:
\[
\Phi (\mathbf{F},S):= \intop_S \langle \mathbf{F}, \nu \rangle\ \text{d} \mathcal{H}^2
\]
in cui \(\nu\) è il campo di versori normali ad \(S\) che ne definisce l'orientazione positiva e \(\mathcal{H}^2\) è la misura di Hausdorff bidimensionale in \(\mathbb{R}^3\)...
Questa è una risposta molto da analista. Immagino che un geometra tirerebbe in ballo metriche Riemanniane e cose del genere, definendo il flusso esattamente nella stessa maniera di Gugo ma con l' "elemento di superficie" \(dV\) in luogo della misura di Hausdorff 2-dimensionale. Oppure l'ipotetico geometra passerebbe dalle forme differenziali, come leggo su Frankel, The Geometry of Physics, §3.4c pag.116.
In ogni modo io non consiglio a Delirium di dedicare troppo tempo alla questione: tutte le definizioni che stiamo citando si riducono alla stessa cosa nel momento in cui uno fissa una parametrizzazione e si mette a fare conti per davvero.
Ok, dunque mi fermo qui, anche perché non padroneggio nemmeno la nozione di misura di Hausdorff - e quindi mi risulta oltremodo difficile comprendere quella definizione (come quando ci venne data quella di spazio misurabile secondo Lebesgue... 'na mazza anche lì 
).
Ringrazio gli intervenuti, gugo e dissonance!
).Ringrazio gli intervenuti, gugo e dissonance!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo