Sul dominio delle funzioni

[gcappellotto]

Salve
vorrei porre un problema inerente la determinazione del dominio di funzioni:

\[ f(x)= x^3 \qquad dom= \forall x \in R\]
\[ g(x)= x^{\sin(x)} \qquad dom= x > 0\]
\[ h(x)=(x-2)^{\frac{1}{x}} \qquad dom=x>2 \]

Perché nel primo esempio il dominio è tutto R, nel secondo il dominio è solo $>$ di zero e nel terzo è $>$ di $2$?
Perché in alcuni casi la base viene posta, per definizione, maggiore di zero ed in altri no?
Può sembra un'osservazione banale ma non ho le idee chiare al riguardo.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[jitter1]

Io sapevo che quando l'esponente non è un intero la base viene posta sempre maggiore di zero per evitare contraddizioni come questa:

$-1 = (-1)^(2*(1/2)) = ((-1)^(2))^(1/2)=sqrt((-1)^2) = 1$

[Plepp]

"jitter":Io sapevo che quando l'esponente non è un intero la base viene posta sempre maggiore di zero per evitare contraddizioni come questa:

$-1 \stackrel{???}{=} (-1)^(2*(1/2)) = ((-1)^(2))^(1/2)=sqrt((-1)^2) = 1$

E il meno che fine ha fatto?

Se non ricordo male, nel caso di esponenti non interi conviene chiedere che la base sia positiva per poter conservare questa proprietà:
\[(a^b)^c=a^{bc}=(a^c)^b\]
Quando la base è negativa e si utilizza spregiudicatamente questa proprietà, ci sono "sorprese" come quelle di cui parlava jitter, tipo
\[1=\sqrt{(-1)^2}=[\sqrt{(-1)}]^2=i^2=-1\]