Suggerimento su un esercizio di Analisi 1
Salve. Un mio amico dell'università mi ha chiesto un aiuto con una dimostrazione, tuttavia anche tentando sia a dimostrare il risultato direttamente, sia per assurdo, non riesco a uscirmene. Se non vi reca disturbo, potreste darmi un suggerimento?
Il risultato è:
Sia $f:RR->RR$ suriettiva e tale che se $(x_n)$ è una successione non convergente allora $(f(x_n))$ è non convergente, allora $f$ è continua.
Il risultato è:
Sia $f:RR->RR$ suriettiva e tale che se $(x_n)$ è una successione non convergente allora $(f(x_n))$ è non convergente, allora $f$ è continua.
Risposte
Non si capisce il testo.
Per quante successioni non convergenti $(x_n)$ dovrebbe valere l'ipotesi? Una? dieci? Tutte?
Per quante successioni non convergenti $(x_n)$ dovrebbe valere l'ipotesi? Una? dieci? Tutte?
@gugo82: Sì, scusa sono stato un po' ambiguo. Vale per ogni successione non convergente.
Per adesso sono riuscito a fare solo questo:
Ci ho pensato ancora, purtroppo non riesco a trovare un modo di chiudere la dimostrazione, ammesso che tutto il resto sia corretto.
"mklplo":
Salve. Un mio amico dell'università mi ha chiesto un aiuto con una dimostrazione, tuttavia anche tentando sia a dimostrare il risultato direttamente, sia per assurdo, non riesco a uscirmene. Se non vi reca disturbo, potreste darmi un suggerimento?
Il risultato è:
Sia $f:RR->RR$ suriettiva e tale che se $(x_n)$ è una successione non convergente allora $(f(x_n))$ è non convergente, allora $f$ è continua.
Cosa puoi dire di $f$? Per esempio, ci possono essere $x$ e $y$ diversi tali che $f(x)=f(y)$?
@ghira: grazie per aver risposto. Sostanzialmente mi hai chiesto se $f$ è iniettiva. Allora, se non sbaglio, se per assurdo non fosse iniettiva, allora potrei prendere una successione non regolare che "oscilla" tra due valori e ottenere una successione convergente per mezzo di $f$. Giusto? Se allora è iniettiva e suriettiva è anche biiettiva e dunque posso sfruttare questa informazione per arrivare alla tesi?
Ci tengo a sapere se ciò è corretto per poi formalizzare domani.
Ci tengo a sapere se ciò è corretto per poi formalizzare domani.
OK. Consideriamo $f(x)=x$ come punto di partenza. Poi scambiamo $(0,1]$ e $(1,2]$, o invertiamo l'ordine dei punti di $[-1,1]$. Cosa va male?
Grazie nuovamente per aver risposto. Scusami, però non capisco cosa intendi. Se considero la funzione identica, cosa intendi per scambiare quegli intervalli o invertire i punti di quel chiuso?
"mklplo":
Grazie nuovamente per aver risposto. Scusami, però non capisco cosa intendi. Se considero la funzione identica, cosa intendi per scambiare quegli intervalli o invertire i punti di quel chiuso?
Mandiamo $(0,1]$ a $(1,2]$ e $(1,2]$ a $(0,1]$ O su $[-1,1]$ mandiamo $x$ a $-x$.
Nel secondo caso abbiamo una funzione biettiva strettamente monotona decrescente continua con inversa continua. Nel primo caso, supposto di prendere una funzione che soddisfi le ipotesi del teorema, si avrebbe una funzione biiettiva per quanto detto prima, se era corretto, ma non capisco...per caso mi stai provando a suggerire che la funzione non solo è biiettiva, ma l'inversa risulta essere continua e poiché è definita su un intervallo, risulta essere strettamente monotona e dunque con inversa continua e dunque ho la tesi; oppure sto facendo voli pindarici e buona parte del messaggio che ho scritto non ha senso?
"mklplo":
Nel secondo caso abbiamo una funzione biettiva strettamente monotona decrescente continua con inversa continua.
No. È $f(x)=x$ tranne su $[-1,1]$ dove $f(x)=-x$.
"mklplo":
Nel primo caso, supposto di prendere una funzione che soddisfi le ipotesi del teorema, si avrebbe una funzione biiettiva per quanto detto prima
La mia prima funzione non è continua.
Ah, ok, avevo capito male, scusa. Allora ci devo pensare
Ok, mi vergogno veramente tanto, anche perché dovrebbe essere un esercizio banale, ma proprio non mi viene. Partendo dagli esempi che hai fatto ho provato a costruire successioni divergenti le cui immagini convergessero ma non mi vengono. Di contro ho trovato successioni convergenti con immagini divergenti. Non capisco dove sbaglio, eppure i concetti di continuità e suriettività in sè (almeno in $RR$) non sono complessi, eppure mi sento spaesato in questa dimostrazione.
Puoi anche provare a vedere cosa non funziona con altre funzioni "sbagliate". Tipo $f(x)$ che è $x$ per $x<0$ altrimenti $x+1$, o $f(x)=e^x$.
Scusa ma entrambe queste funzioni con dominio $RR$ non sono suriettive, ma forse intendi che anche in questi casi si nota il problema, purtroppo io non vedo alcun legame tra tutti questi esempi e l'enunciato.
"mklplo":
Scusa ma entrambe queste funzioni con dominio $RR$ non sono suriettive, ma forse intendi che anche in questi casi si nota il problema, purtroppo io non vedo alcun legame tra tutti questi esempi e l'enunciato.
Ecco perché ho detto "sbagliate". Cosa non va in questi casi? A cosa serve la presenza di "suriettive" nel problema?
Vedendo cosa succede se infrangi le regole del problema magari vedi come procedere.
Ah, ok. Grazie nuovamente e scusa le ripetute domande
"mklplo":
Partendo dagli esempi che hai fatto ho provato a costruire successioni divergenti le cui immagini convergessero ma non mi vengono.
Che ne dici di ${x_i}=\frac{1}{i}$ per $i$ dispari e $2-\frac{1}{i}$ per $i$ pari?
Scusate per il lungo iato, ma ho avuto altro da fare.
Allora, l'esempio proposto da ghira mostra che effettivamente se c'è una discontinuità si può trovare una successione non regolare $(x_n)$ tale che $(f(x_n))$ converge; ciò mostra che l'enunciato è quanto meno plausibile, e forse lascia qualche indicazione per il caso generale... Insomma, potremmo pensare di procedere per assurdo, scegliendo di prendere $f$ non continua in $RR$ e mostrando che esiste una successione non regolare $(x_n)$ tale che $(f(x_n))$ converga.
Come fare?
Preso un punto $x_0 in RR$ di discontinuità per $f$, potremmo provare a vedere se è possibile determinare una successione $(xi_n)$ che non converge ad $x_0$ ma tale che $f(xi_n) -> f(x_0)$. Se ci riusciamo abbiamo vinto, perché basta definire:
$x_n := \{ (xi_(n/2) , ", se " n " è pari"), (x_0, ", se " n " è dispari"):}$
di modo che $(x_n)$ non è regolare e $f(x_n) -> f(x_0)$.
Il punto è: è possibile determinare $(xi_n)$?
Allora, l'esempio proposto da ghira mostra che effettivamente se c'è una discontinuità si può trovare una successione non regolare $(x_n)$ tale che $(f(x_n))$ converge; ciò mostra che l'enunciato è quanto meno plausibile, e forse lascia qualche indicazione per il caso generale... Insomma, potremmo pensare di procedere per assurdo, scegliendo di prendere $f$ non continua in $RR$ e mostrando che esiste una successione non regolare $(x_n)$ tale che $(f(x_n))$ converga.
Come fare?
Preso un punto $x_0 in RR$ di discontinuità per $f$, potremmo provare a vedere se è possibile determinare una successione $(xi_n)$ che non converge ad $x_0$ ma tale che $f(xi_n) -> f(x_0)$. Se ci riusciamo abbiamo vinto, perché basta definire:
$x_n := \{ (xi_(n/2) , ", se " n " è pari"), (x_0, ", se " n " è dispari"):}$
di modo che $(x_n)$ non è regolare e $f(x_n) -> f(x_0)$.
Il punto è: è possibile determinare $(xi_n)$?
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