Suggerimento su un esercizio di Analisi 1

[mklplo751]

Salve. Un mio amico dell'università mi ha chiesto un aiuto con una dimostrazione, tuttavia anche tentando sia a dimostrare il risultato direttamente, sia per assurdo, non riesco a uscirmene. Se non vi reca disturbo, potreste darmi un suggerimento?
Il risultato è:
Sia $f:RR->RR$ suriettiva e tale che se $(x_n)$ è una successione non convergente allora $(f(x_n))$ è non convergente, allora $f$ è continua.

[mklplo751]

Grazie a entrambi. Allora penso che quella successione si possa ricavare usando la suriettività, infatti poichè $f(x_0)$ è un punto interno del dominio posso trovare una successione $l_n->f(x_0)$ ma allora posso ricavare una successione $x'_n$ tale che $f(x_n)=l_n$. Ora, poichè abbiamo mostrato l'iniettvitià di $f$ (sempre se i passaggi sono corretti) allora la successione è univocamente determinata e dunque se convergesse avremmo la tesi, se invece non dovesse convergere, si potrebbe creare una successione non regolare ma tale che l'immagine converge, contro l'ipotesi. E' corretto?

[ghira1]

Da dove viene questo esercizio? Sarei molto curioso di vedere la risposta "ufficiale".

Comunque, visto che $f$ è biettiva magari possiamo prendere un eventuale punto di discontinuità $x_0$ di $f$ e considerare $f^{-1}(f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)$. (Intendo $f^{-1}$ applicata all'intero intervallo. Non riesco a digitare due parentesi per qualche motivo.)

[mklplo751]

L'esercizio me lo ha invitato un amico che dice di averlo trovato su un pdf a caso. Ok, quindi è corretto usare la biettività. Comunque questo teorema è molto particolare, perché ti garantisce non solo la continuità, ma poiché la funzione è biettiva e continua e definita su un intervallo è strettamente monotona, con inversa dunque strettamente monotona e dunque con inversa continua per un teorema che abbiamo fatto (in realtà il teorema vale per intervalli compatti, tuttavia penso che se l'intervallo sia tutto $RR$ il teorema dovrebbe valere ugualmente).

[ghira1]

Hai potuto "aiutare" l'amico? Cosa dice?

[mklplo751]

Lui si è arreso dopo una decina di giorni, alla fine però volevo capire come si faceva questa dimostrazione e ti ringrazio per avermi aiutato così tanto.
P.s: è corretto dire che l'inversa in questo caso è continua?

[gugo82]

Guarda la dimostrazione ed, in particolare, se l’ipotesi di compattezza del dominio può essere rimossa.

[mklplo751]

Dalla dimostrazione, mi sembra che l'ipotesi di compattezza sia necessaria per la limitatezza e dunque perchè i limiti destri e sinitri di una funzione monotona siano finiti, tuttavia, tolta la limitatezza, per via della monotonia, i limiti infiniti li posso avere solo quando la $x$ tende agli estremi del dominio. Ora, poichè l'insieme delle immagini è un intervallo, non posso avere discontinuità di prima o di terza specie, e come detto prima non posso avere quelle di secondo e dunque la funzione è continua. Il problema è che mi sembra strano che richiedendo così poco (monotonia e connessione del dominio e dell'insieme delle immagini) si ottenga così tanto (la continuità).

[mklplo751]

Buongiorno e buon carnevale.
Per capire dove ho eventuali lacune da colmare, volevo fare un attimo un riassunto degli ultimi messaggi con la dimostrazione dell'enunciato (che darò in due modi diversi) modificato:

"$f:RR->RR$ è suriettiva e per ogni successione $x_n$ non convergente si ha che $f(x_n)$ non è convergente se e solo se $f$ è continua, biettiva con inversa continua."
Dimostriamo la prima implicazione.
In primis dimostriamo l'iniettività:supponiamo per assurdo che esistano $x,y \in RR$ tali che $x \ne y$ e tali che $f(x)=f(y)$ allora posso prendere la successione non convergente che a indici pari associa $x$ e che a indici dispari associa $y$, ma allora la successione delle immagini è convergente, contro l'ipotesi.
Dimostriamo la continuità:Consideriamo una successione $l_n$ convergente a $f(x_0)$ e notiamo che per biettività, esiste un'unica successione di $x_n'$ tali che $f(x_n')=l_n$
ora, se $x_n'->x_0$ abbiamo concluso, in quanto per ogni successione tendente a $x_0$ esiste univocamente determinata una successione che tende a $f(x_0)$ a causa della biettività di $f$, se invece per assurdo $x_n'$ non tende a $x_0$, allora potrei considerare la successione non convergente che associa a indici pari $x_n'$ e a indici dispari $x_0$, tuttavia le immagini di questa successione convergerebbero contro l'ipotesi.
Dimostriamo la continuità dell'inversa: poichè $f$ è biettiva e continua è anche strettamente monotona. Consideriamo l'inversa, essa è ovviamente strettamente monotona e biettiva. Supponiamo $y$ un punto di discontinuità per l'inversa. Noi sappiamo che non può essere di terza specie, inoltre non può essere di seconda specie se $y$ è interno al dominio per via della stretta monotonia, infine non può neanche essere di prima specie sia per stretta monotonia, sia per connessione dell'insieme dell'immagini. Dunque l'inversa è continua.
Dimostriamo l'implicazione inversa:
Ovviamente essendo al funzione biettiva è suriettiva, inoltre poichè l'enunciato è equivalente a richiedere che per ogni $f(x_n)$ convergente si ha $x_n$ convergente, allora notiamo che ciò è immediatamente vero per la continuità dell'inversa.

"$f:[a,b]->[c,d]$ è suriettiva e per ogni successione $x_n$ non convergente si ha che $f(x_n)$ non è convergente se e solo se $f$ è continua, biettiva con inversa continua."
Dimostriamo la prima implicazione.
In primis dimostriamo l'iniettività:supponiamo per assurdo che esistano $x,y \in [a,b]$ tali che $x \ne y$ e tali che $f(x)=f(y)$ allora posso prendere la successione non convergente che a indici pari associa $x$ e che a indici dispari associa $y$, ma allora la successione delle immagini è convergente, contro l'ipotesi.
Dimostriamo la continuità:Consideriamo una successione $l_n$ convergente a $f(x_0)$ (tale successione esiste per via della compattezza di dominio e codominio) e notiamo che per biettività, esiste un'unica successione di $x_n'$ tali che $f(x_n')=l_n$
ora, se $x_n'->x_0$ abbiamo concluso, in quanto per ogni successione tendente a $x_0$ esiste univocamente determinata una successione che tende a $f(x_0)$ a causa della biettività di $f$, se invece per assurdo $x_n'$ non tende a $x_0$, allora potrei considerare la successione non convergente che associa a indici pari $x_n'$ e a indici dispari $x_0$, tuttavia le immagini di questa successione convergerebbero contro l'ipotesi.
Dimostriamo la continuità dell'inversa: poichè $f$ è biettiva e continua è anche strettamente monotona e considerando che dominio e codominio sono compatti e connessi, abbiamo per un teorema noto, la tesi.
Dimostriamo l'implicazione inversa
Ovviamente essendo al funzione biettiva è suriettiva, inoltre poichè l'enunciato è equivalente a richiedere che per ogni $f(x_n)$ convergente si ha $x_n$ convergente, allora notiamo che ciò è immediatamente vero per la continuità dell'inversa.

Spero veramente di non disturbarvi con tutte queste domande e di non aver scritto cose che non stanno nè in cielo nè in terra.

[gabriella127]

@ scusami mkplo, leggo solo ora il thread, e non ho capito bene se queste ultime dimostrazioni sono quelle che ti sono state date come soluzione, cioè quelle 'vere', o le hai fatte tu, o altro.

[mklplo751]

@gabriella127:non ti preoccupare. Comunque queste dimostrazioni sono quelle che ho tentato dopo tutto quello che hanno detto gugo e ghira. Quindi non so se sono corrette, in quanto potrei aver frainteso le varie spiegazioni.

[gabriella127]

Ok grazie. Scusami ancora, poi leggo meglio il thread, ma è sicuro che 'sto teorema sia vero?

[mklplo751]

Come ti ho detto non c'è bisogno di scusarsi. Allora, il primo enunciato, quello da cui è partita tutta la discussione è stato trovato su un pdf ma non so bene i dettagli. Per quanto riguarda le "dimostrazioni" dell'ultimo messaggio, ho provato a dimostrare qualcosa di più forte perchè mi sembrava vero.