Successioni di funzioni
A lezione stavamo facendo le successioni di funzioni, ma non ho gradito per nulla la definizione che ha utilizzato.
Ho visto alcune definizioni, considero: $X inRR$ e $F={f:X->RR| f$ $f u n z i o n e}$
La prima è: $f_n:X->RR$
che non mi piace per nulla. Il motivo per cui non mi piace è che sembra non esistere nemmeno la dipendenza della funzione da $NN$, mi sembra troppo poco formale.
La seconda è: $f:NN->F$ che associa $n|->f_n$
Questa la trovo informale per quanto riguarda già la convergenza puntuale di una successione di funzioni.
Il problema è che ‘successione di funzioni’ mi fa pensare ad una applicazione che è contemporaneamente una funzione reale è una successione.
Pertanto pensavo che la migliore definizione fosse quella di $f:NNtimesX->RR$
Dove ad una qualsiasi coppia $(n,x)|->f_n(x)$ usando una notazione abbastanza felice.
Ovviamente restringendo $f$ ad un sottoinsieme ${n_0}timesX$ ottengo funzioni e invece restringendo al sottoinsieme $NNtimes{x_0}$ ottengo una successione.
Questo dubbio mi è sorto studiando la convergenza puntuale.
Di fatto la convergenza puntuale di una successione di funzioni è definita appunto come ‘convergenza punto per punto’.
Idealmente mi viene in mente come una possibile definizione di convergenza puntuale di una successione di funzioni come,
$f$ converge puntualmente in $AsubseteqX$ Se $f_(NNtimes{x_0}$ converge ad un valore finito per ogni $x_0 inA$ fissato.
Per esempio la funzione $f_n(x)=x^n+1/x$ converge puntualmente in $(0,1)$ al valore $1/x_0$
Ovvero che $lim_(n->+infty)f_n(x_0)=1/x_0,forall x_0 in(0,1)$
O sempre più felicemente $lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)(=1/x),forallx in(0,1)$
Dove viene inteso che per $f->g$ in $A$ puntualmente si intende semplicemente che,
$lim_(n->+infty)f_n(x_0)=g(x_0),forallx_0inA$
Quindi quello che chiedo è: siccome non trovo da nessuna parte una spiegazione esaustiva delle successioni di funzioni è corretto questo mio modo di vedere la cosa?
Vi prego di non rimandarmi ad altre cose ma soffermarvi su quanto scritto, perché sembra abbastanza delicata come cosa e vorrei averla ben chiara.
Ho visto alcune definizioni, considero: $X inRR$ e $F={f:X->RR| f$ $f u n z i o n e}$
La prima è: $f_n:X->RR$
che non mi piace per nulla. Il motivo per cui non mi piace è che sembra non esistere nemmeno la dipendenza della funzione da $NN$, mi sembra troppo poco formale.
La seconda è: $f:NN->F$ che associa $n|->f_n$
Questa la trovo informale per quanto riguarda già la convergenza puntuale di una successione di funzioni.
Il problema è che ‘successione di funzioni’ mi fa pensare ad una applicazione che è contemporaneamente una funzione reale è una successione.
Pertanto pensavo che la migliore definizione fosse quella di $f:NNtimesX->RR$
Dove ad una qualsiasi coppia $(n,x)|->f_n(x)$ usando una notazione abbastanza felice.
Ovviamente restringendo $f$ ad un sottoinsieme ${n_0}timesX$ ottengo funzioni e invece restringendo al sottoinsieme $NNtimes{x_0}$ ottengo una successione.
Questo dubbio mi è sorto studiando la convergenza puntuale.
Di fatto la convergenza puntuale di una successione di funzioni è definita appunto come ‘convergenza punto per punto’.
Idealmente mi viene in mente come una possibile definizione di convergenza puntuale di una successione di funzioni come,
$f$ converge puntualmente in $AsubseteqX$ Se $f_(NNtimes{x_0}$ converge ad un valore finito per ogni $x_0 inA$ fissato.
Per esempio la funzione $f_n(x)=x^n+1/x$ converge puntualmente in $(0,1)$ al valore $1/x_0$
Ovvero che $lim_(n->+infty)f_n(x_0)=1/x_0,forall x_0 in(0,1)$
O sempre più felicemente $lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)(=1/x),forallx in(0,1)$
Dove viene inteso che per $f->g$ in $A$ puntualmente si intende semplicemente che,
$lim_(n->+infty)f_n(x_0)=g(x_0),forallx_0inA$
Quindi quello che chiedo è: siccome non trovo da nessuna parte una spiegazione esaustiva delle successioni di funzioni è corretto questo mio modo di vedere la cosa?
Vi prego di non rimandarmi ad altre cose ma soffermarvi su quanto scritto, perché sembra abbastanza delicata come cosa e vorrei averla ben chiara.
Risposte
Questa definizione
è perfettamente equivalente a questa:
L'operazione che le collega si chiama un/currying (currying se vai in un verso, uncurrying se vai nell'altro verso). E' anzi vero di più, un terzo modo di vedere una successione di funzioni è come una funzione che va da $X$ all'insieme delle successioni a valori reali $\mathbb R^{\mathbb N}$.
La convergenza puntuale ora è semplicemente quella che ti dice che hai un funtor... scusa, una funzione \(\lim_{n\to \infty} : \mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^\star = \mathbb R \cup \{\infty, \text{fadgfoaubu}\}\) che associa a una successione il suo limite (conveniamo che sia $\infty$ se non è limitata, e fadgfoaubu se non ammette limite), e stai prendendo la funzione
\[
\begin{CD}
X @>f_\bullet(x)>> \mathbb R^{\mathbb N} @>\lim_{n\to \infty}>> \mathbb R^\star
\end{CD}
\]
...che cosa sono mai le successioni se non funzioni a dominio $\mathbb N$?
"anto_zoolander":
La seconda è: $f:NN->F$ che associa $n|->f_n$
è perfettamente equivalente a questa:
Pertanto pensavo che la migliore definizione fosse quella di $f:NNtimesX->RR$
L'operazione che le collega si chiama un/currying (currying se vai in un verso, uncurrying se vai nell'altro verso). E' anzi vero di più, un terzo modo di vedere una successione di funzioni è come una funzione che va da $X$ all'insieme delle successioni a valori reali $\mathbb R^{\mathbb N}$.
La convergenza puntuale ora è semplicemente quella che ti dice che hai un funtor... scusa, una funzione \(\lim_{n\to \infty} : \mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^\star = \mathbb R \cup \{\infty, \text{fadgfoaubu}\}\) che associa a una successione il suo limite (conveniamo che sia $\infty$ se non è limitata, e fadgfoaubu se non ammette limite), e stai prendendo la funzione
\[
\begin{CD}
X @>f_\bullet(x)>> \mathbb R^{\mathbb N} @>\lim_{n\to \infty}>> \mathbb R^\star
\end{CD}
\]
Ovviamente restringendo $f$ ad un sottoinsieme ${n_0}timesX$ ottengo funzioni e invece restringendo al sottoinsieme $NNtimes{x_0}$ ottengo una successione.
...che cosa sono mai le successioni se non funzioni a dominio $\mathbb N$?
Ciao killing 
Io per definire quella applicazione ‘limite’ ho considerato il seguente insieme;
$Y={x in X| exists l(x) inRR: lim_(n->+infty)f_n(x)=l(x)}$
Se $Y$ è vuoto, allora non posso far nulla.
Se $Y$ non è vuoto allora per unicità del limite posso considerare
$g:Y->RR$ tale che $g(x)=lim_(n->+infty)f_n(x),forall x in Y$.
Che poi questo sarebbe come dire che $f_(NNtimes{x_0})$ converge per ogni $x_0$
Per il resto era solo un modo per cercare di intenderci.
Non volevo discriminare nè le successioni nè le funzioni
Sinceramente preferisco vedere il tutto come una applicazione in due variabili, rende molto meglio l’idea a mio avviso.
Tra l’altro non comprendo perché la spiegazione di questo oggetto sia ridotto all’osso
Io per definire quella applicazione ‘limite’ ho considerato il seguente insieme;
$Y={x in X| exists l(x) inRR: lim_(n->+infty)f_n(x)=l(x)}$
Se $Y$ è vuoto, allora non posso far nulla.
Se $Y$ non è vuoto allora per unicità del limite posso considerare
$g:Y->RR$ tale che $g(x)=lim_(n->+infty)f_n(x),forall x in Y$.
Che poi questo sarebbe come dire che $f_(NNtimes{x_0})$ converge per ogni $x_0$
Per il resto era solo un modo per cercare di intenderci.
Non volevo discriminare nè le successioni nè le funzioni
Sinceramente preferisco vedere il tutto come una applicazione in due variabili, rende molto meglio l’idea a mio avviso.
Tra l’altro non comprendo perché la spiegazione di questo oggetto sia ridotto all’osso
@anto: Vuoi vedere una successione di funzioni come una funzione di due variabili? Fai pure, chi ti ha detto che non si può? Ma secondo me non perdere troppo la testa su questi voli pindarici, pensa piuttosto a **calcolare**, anzi: Shut up and calculate!.
(P.S.: Questo libro espone le successioni di funzioni in una maniera che troverai soddisfacente. È stato un libro molto importante per me).
(P.S.: Questo libro espone le successioni di funzioni in una maniera che troverai soddisfacente. È stato un libro molto importante per me).
Grazie mille come sempre
Ora provvederò nel reperire il libro.
Lo so forse esagero sempre nel voler fare le cose in maniera rigorosa, ma il fatto è che odio lasciare un concetto in maniera ‘approssimativa’.
Ora provvederò nel reperire il libro.
Lo so forse esagero sempre nel voler fare le cose in maniera rigorosa, ma il fatto è che odio lasciare un concetto in maniera ‘approssimativa’.
"killing_buddha":
Questa definizione[quote="anto_zoolander"]
La seconda è: $f:NN->F$ che associa $n|->f_n$
è perfettamente equivalente a questa:
Pertanto pensavo che la migliore definizione fosse quella di $f:NNtimesX->RR$
L'operazione che le collega si chiama un/currying (currying se vai in un verso, uncurrying se vai nell'altro verso). E' anzi vero di più, un terzo modo di vedere una successione di funzioni è come una funzione che va da $X$ all'insieme delle successioni a valori reali $\mathbb R^{\mathbb N}$.
La convergenza puntuale ora è semplicemente quella che ti dice che hai un funtor... scusa, una funzione \(\lim_{n\to \infty} : \mathbb R^{\mathbb N}\to\mathbb R^\star = \mathbb R \cup \{\infty, \text{fadgfoaubu}\}\) che associa a una successione il suo limite (conveniamo che sia $\infty$ se non è limitata, e fadgfoaubu se non ammette limite), e stai prendendo la funzione
\[
\begin{CD}
X @>f_\bullet(x)>> \mathbb R^{\mathbb N} @>\lim_{n\to \infty}>> \mathbb R^\star
\end{CD}
\]
Ovviamente restringendo $f$ ad un sottoinsieme ${n_0}timesX$ ottengo funzioni e invece restringendo al sottoinsieme $NNtimes{x_0}$ ottengo una successione.
...che cosa sono mai le successioni se non funzioni a dominio $\mathbb N$?[/quote]
Ogni volta che scrivi mi fai venire in mente un post di Terry Tao. Questo vedere il limite come un funtore (lui dice "funzionale") lui lo fa qui:
https://terrytao.wordpress.com/2017/05/ ... unctional/
In effetti sono idee naturali e che in analisi si sono usate molto (penso alla somma di Cesàro, di Abel, i corrispondenti teoremi per la convergenza delle serie di Fourier, tutta analisi straclassica). Tu però te ne esci con queste benedette categorie e lo fai apposta a non farci capire niente, perché ti diverti.
L'analisi matematica ha infatti un enorme potenziale astrattivo; solo è per lo più "usata", e quasi mai "compresa" (è un errore epistemologico il vecchio adagio di Von Neumann che dice che la matematica non si capisce ma ci si abitua semplicemente ad essa).
E' dai primordi della teoria delle categorie che, ad esempio, si è cercato mediante il linguaggio categoriale di dare un contenuto strutturale alla teoria astratta della misura e a certe parti dell'analisi funzionale. L'esempio dell'altro giorno ne è un piacevole punto, ma ce ne sono molti altri (la statistica bayesiana, certe parti della meccanica statistica, e molte altre cose). Basta cercare: gli articoli sono tutti online.
Quello che mi diverte, poi, è essere una voce (l'unica qui dentro, purtroppo) che cerchi di comunicare agli studenti lo stacco che esiste tra la matematica italiana (orrenda, medievale) e certi altri ambienti dove per fortuna si prende più sul serio il desiderio di estendere il dominio del linguaggio in maniera efficiente e descrittiva. E' chiaro che questo approccio non può essere per tutti; è altrettanto chiaro però che assecondando visioni come
esso non sarà di nessuno. Perché (scioccamente) gli adulti vengono guardati con rispetto dagli studenti in quanto adulti, e non in base alla bontà delle idee che portano. Senza essere dissidenti di fronte a questo approccio meccanico, si continuerà a produrre una generazione di meccanici. Che vorrà preservare sé stessa, e generare altri meccanici. E così via. Il fatto che gli analisti formino un aperto denso tra i matematici è conseguenza di un assetto politico, non di una predominanza culturale intrinseca al linguaggio matematico.
Nell'avverbio veramente c'è un opinabile giudizio di valore su cosa sia matematica e cosa sia filosofia (come se poi le due cose si combattano a vicenda invece di completarsi!), su cosa sia sesso e cosa masturbazione (come se poi le due cose si combattano a vicenda invece di completarsi!). Chi ha detto questo però non è l'unico a potersi permettere di esprimere un giudizio di valore: anche io esprimo una posizione ideologica precisa, dietro queste opportunità che colgo per mostrare agli studenti che il salto che esiste tra la matematica che stanno imparando è abissale, e che se sono motivati dalla ragione più alta per studiare matematica (la sua bellezza) non dovrebbero accontentarsi delle briciole o della programmazione lineare.
Chiaramente in questo c'è il rischio che nelle mie parole venga fraintesa una posizione ideologica a sua volta opinabile: l'unica matematica è quella pura, gli altri sono ingegneri, e cazzate del genere. Il discriminante non è la dicotomia puro/applicato, quanto piuttosto una questione di atteggiamento verso ciò che si fa, una questione di priorità e una questione di (est)etica; c'è molta più teoria delle categorie nella determinazione di $\pi$ proposta da Buffon, piuttosto che in articoli che parlano di categorie; c'è molto più strutturalismo nel domandarsi quanto è lunga una patata, che nel domandarsi quante division algebras esistano su $\mathbb R$.
(ovviamente avrei potuto mandarti questo messaggio in privato, ma penso sia meglio, proprio per ciò che ho scritto, che sia un messaggio pubblico).
E' dai primordi della teoria delle categorie che, ad esempio, si è cercato mediante il linguaggio categoriale di dare un contenuto strutturale alla teoria astratta della misura e a certe parti dell'analisi funzionale. L'esempio dell'altro giorno ne è un piacevole punto, ma ce ne sono molti altri (la statistica bayesiana, certe parti della meccanica statistica, e molte altre cose). Basta cercare: gli articoli sono tutti online.
Quello che mi diverte, poi, è essere una voce (l'unica qui dentro, purtroppo) che cerchi di comunicare agli studenti lo stacco che esiste tra la matematica italiana (orrenda, medievale) e certi altri ambienti dove per fortuna si prende più sul serio il desiderio di estendere il dominio del linguaggio in maniera efficiente e descrittiva. E' chiaro che questo approccio non può essere per tutti; è altrettanto chiaro però che assecondando visioni come
[ora] possiamo tornare alle nostre disuguaglianze geometriche ed analitiche o all'ottimizzazione, in cui si capisce veramente a che serve la convessità.
esso non sarà di nessuno. Perché (scioccamente) gli adulti vengono guardati con rispetto dagli studenti in quanto adulti, e non in base alla bontà delle idee che portano. Senza essere dissidenti di fronte a questo approccio meccanico, si continuerà a produrre una generazione di meccanici. Che vorrà preservare sé stessa, e generare altri meccanici. E così via. Il fatto che gli analisti formino un aperto denso tra i matematici è conseguenza di un assetto politico, non di una predominanza culturale intrinseca al linguaggio matematico.
Nell'avverbio veramente c'è un opinabile giudizio di valore su cosa sia matematica e cosa sia filosofia (come se poi le due cose si combattano a vicenda invece di completarsi!), su cosa sia sesso e cosa masturbazione (come se poi le due cose si combattano a vicenda invece di completarsi!). Chi ha detto questo però non è l'unico a potersi permettere di esprimere un giudizio di valore: anche io esprimo una posizione ideologica precisa, dietro queste opportunità che colgo per mostrare agli studenti che il salto che esiste tra la matematica che stanno imparando è abissale, e che se sono motivati dalla ragione più alta per studiare matematica (la sua bellezza) non dovrebbero accontentarsi delle briciole o della programmazione lineare.
Chiaramente in questo c'è il rischio che nelle mie parole venga fraintesa una posizione ideologica a sua volta opinabile: l'unica matematica è quella pura, gli altri sono ingegneri, e cazzate del genere. Il discriminante non è la dicotomia puro/applicato, quanto piuttosto una questione di atteggiamento verso ciò che si fa, una questione di priorità e una questione di (est)etica; c'è molta più teoria delle categorie nella determinazione di $\pi$ proposta da Buffon, piuttosto che in articoli che parlano di categorie; c'è molto più strutturalismo nel domandarsi quanto è lunga una patata, che nel domandarsi quante division algebras esistano su $\mathbb R$.
(ovviamente avrei potuto mandarti questo messaggio in privato, ma penso sia meglio, proprio per ciò che ho scritto, che sia un messaggio pubblico).
L'articolo di Tao mi interessa, comunque, grazie!
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