Successioni di Cauchy

[skeletro1]

rieccomi qui con la mia ignoranza..

nel libro che seguo analisi c'è scritto "proposizione: Ogni successione convergente è di Cauchy"
criteri per successioni di Cauchy: $ AA e>0, EE v: h,k>v $ risulti $ |ak-ah|
ma osservando la successione $ an=sinn/n $ si trovano valori $ h,k>v $ per cui $ |ak-ah| esempio:
$ e=0.047 $
$ v=3 $
$ k=8,akrarr 0.123 $
$ h=10,ahrarr -0.054 $
perciò $ |ak-ah|=|0.123+0.054|=0.177<0.047=e $

mi sembra improbabile che sia sbagliato.. illuminatemi

[Rigel1]

La definizione non dice che "per ogni $\epsilon>0$ e per ogni $\nu$...", bensì "per ogni $\epsilon>0$ esiste $\nu$...", e tale $\nu$ in generale dipenderà da $\epsilon$.
Nel tuo caso, dato $\epsilon > 0$, scegli $\nu > \frac{2}{\epsilon}$ e vedrai che tutto funziona.

[skeletro1]

con quale criterio ricavi $ v $ da $ \epsilon $.. dipende dalla successione?
voglio dire quel $ 2/\epsilon $ come lo hai trovato

[Rigel1]

Certo, dipende dalla successione.
Nel caso del tuo esempio, la scelta dipende dal fatto che $|a_n| \le 1/n$.
(Prova a guardare sul tuo libro la dimostrazione del fatto che ogni successione convergente è di Cauchy.)

[skeletro1]

ahh ho capito dato che $|an-a|$ dei indici $k$ e $h$ sono strettamente minori (per il fatto che convergono) di $\epsilon/2$ cioè indice $v$ la loro somma non potrà mai raggiungere $\epsilon$.