Successioni convergenti.
Salve. Non riesco a comprendere bene cosa sia esattamente per definizione una successione convergente, innanzitutto.. Sulle mie dispense riporta :
"La successione { a_n } converge ad a se $ AA $ e > 0 $ EE $ ni_e $ in NN $ t. c. la disuguaglianza $ |a_n - a| $ $ < e $ sia vera $ AA $ $ n >= ni_e $ ."
Non capisco se stabilisco io quanto valgono e, ni_e ? E cosa rappresenta ni_e ?
Quindi poi dovrei verificare in base a tale definizione che { a_n } converge ad a. Ad esempio, devo verificare, come primo esercizio, che la successione costante $ a_n -= a $ converge ad a.
Poi, devo verificare che la successione $ { (n - 1) / n } $ converge a 1, e valutare ni_e ( che non so cosa sia !
) per e = $ 1 / 2 $ , e = $ 1 / 10 $ , e = $ 1 / 100 $ ..
Qui poi mi spiega in 3 passi come farlo con un algoritmo, ma non riesco a svolgere comunque alcun esercizio :
"Per verificare in base alla definizione che { a_n } converge ad a occorre :
- fissare un arbitrario $ e > 0 $ ,
- "manipolare" la disuguaglianza $ |a_n - a| < e $ ,
- determinare un numero ni_e ( che in generale dipende da e ) t.c. la disuguaglianza sia soddisfatta per $ n >= ni_e $ ."
Chi mi aiuterebbe a capirci qualcosa ? E' da molto che non riesco più ad andare avanti nell'argomento.. Grazie.
"La successione { a_n } converge ad a se $ AA $ e > 0 $ EE $ ni_e $ in NN $ t. c. la disuguaglianza $ |a_n - a| $ $ < e $ sia vera $ AA $ $ n >= ni_e $ ."
Non capisco se stabilisco io quanto valgono e, ni_e ? E cosa rappresenta ni_e ?
Quindi poi dovrei verificare in base a tale definizione che { a_n } converge ad a. Ad esempio, devo verificare, come primo esercizio, che la successione costante $ a_n -= a $ converge ad a.
Poi, devo verificare che la successione $ { (n - 1) / n } $ converge a 1, e valutare ni_e ( che non so cosa sia !
) per e = $ 1 / 2 $ , e = $ 1 / 10 $ , e = $ 1 / 100 $ .. Qui poi mi spiega in 3 passi come farlo con un algoritmo, ma non riesco a svolgere comunque alcun esercizio :
"Per verificare in base alla definizione che { a_n } converge ad a occorre :
- fissare un arbitrario $ e > 0 $ ,
- "manipolare" la disuguaglianza $ |a_n - a| < e $ ,
- determinare un numero ni_e ( che in generale dipende da e
) t.c. la disuguaglianza sia soddisfatta per $ n >= ni_e $ ."Chi mi aiuterebbe a capirci qualcosa ? E' da molto che non riesco più ad andare avanti nell'argomento.. Grazie.
Risposte
In soldoni: una successione $a_n$ converge ad $a$ se ci si avvicina sempre di più, in modo infinitesimo. Più rigorosamente, accade che, per quanto piccolo tu scelga un intorno centrato in $a$, lì troverai sempre infiniti termini della successione; la definizione formalizza questo concetto:
per ogni $\epsilon >0$ = per quanto piccolo tu scelga il raggio dell'intorno
esiste un $n_\epsilon$ tale che per ogni $n>n_\epsilon$ = esiste un numero $n_\epsilon$ tale per cui da quello in avanti, ovvero per tutti gli infiniti termini che seguono
si ha $|a_n - a|<\epsilon$ = tutti gli $a_n$ con $n>n_\epsilon$ stanno nell'intorno centrato in $a$ di raggio $\epsilon$, che in altre parole significa che stanno a distanza minore o uguale ad $\epsilon$ da $a$
Prendiamo l'esempio con $\epsilon=1/2$. Dobbiamo trovare $n_\epsilon$ in modo che la diseguaglianza
$|(n-1)/n -1|<1/2$
sia valida per ogni $n>n_\epsilon$.
$|(n-1)/n -1|<1/2 \Leftrightarrow |(n-1-n)/n|<1/2\Leftrightarrow 1/n <1/2\Leftrightarrow n>2$
quindi, $n_\epsilon=2$.
Paola
per ogni $\epsilon >0$ = per quanto piccolo tu scelga il raggio dell'intorno
esiste un $n_\epsilon$ tale che per ogni $n>n_\epsilon$ = esiste un numero $n_\epsilon$ tale per cui da quello in avanti, ovvero per tutti gli infiniti termini che seguono
si ha $|a_n - a|<\epsilon$ = tutti gli $a_n$ con $n>n_\epsilon$ stanno nell'intorno centrato in $a$ di raggio $\epsilon$, che in altre parole significa che stanno a distanza minore o uguale ad $\epsilon$ da $a$
Prendiamo l'esempio con $\epsilon=1/2$. Dobbiamo trovare $n_\epsilon$ in modo che la diseguaglianza
$|(n-1)/n -1|<1/2$
sia valida per ogni $n>n_\epsilon$.
$|(n-1)/n -1|<1/2 \Leftrightarrow |(n-1-n)/n|<1/2\Leftrightarrow 1/n <1/2\Leftrightarrow n>2$
quindi, $n_\epsilon=2$.
Paola
"prime_number":
$|(n-1)/n -1|<1/2 \Leftrightarrow |(n-1-n)/n|<1/2\Leftrightarrow 1/n <1/2\Leftrightarrow n>2$
quindi, $n_\epsilon=2$.
Ti ringrazio, Paola, per la tua spiegazione precisa in ogni passaggio.. Purtroppo continuo ancora a non capire chi è questo $\nu_epsilon$ che abbiamo ottenuto, perché non ho alcuna immagine mentale di questa successione.. Scusa, ma dove lo dovrei immaginare, sull'asse delle ascisse o su quello delle ordinate ? O è semplicemente un numero arbitrario ?
Come possono risultare gli $ n > 2 $ , quando la successione converge ad 1 ? Ho anche dei dubbi sul valore assoluto, e cioè quando mi trovo di fronte a questo caso $ |x| < k hArr -k < x < k $ , io vado quindi a svolgere l'ultimo passaggio così :
$ |((n - 1) / n) - 1| < 1 / 2 hArr |(n - 1 - n) / n| < 1 / 2 hArr |-1 / n| < 1 / 2 hArr - 1 / 2 < - 1 / n < 1 / 2 hArr - 1 / 2 + 1 / n < 1 / 2 hArr (-n + 2) / (2n) < 1 / 2 $
.. Sicuramente sbaglio, ma mi son perso in un bicchiere d'acqua vedendo i miei appunti con tutte le regole sul valore assoluto..
La regola che hai per il valore assoluto è corretta, ma io ho scritto $|-1/n|=1/n$ perché $n$ è positivo, essendo un numero naturale. Quindi in quel passaggio ho semplicemente applicato la definizione di valore assoluto:
$|x|=\{(x, x\geq 0),(-x, x<0):}$
sfruttando il fatto che sapevo che $-1/n <0$.
Riguardo alla prima domanda: $\epsilon$ è nella definizione un numero arbitrario, mentre $n_\epsilon$ è un intero che si trova facendo i calcoli e che dipende dall'$\epsilon$ scelto e dalla successione considerata. Infatti nell'esempio sopra la consegna mi ha dato un $\epsilon$ ($1/2$) ed io ho calcolato di conseguenza $n_\epsilon =2$.
Parli di ascisse ed ordinate: se intendi che vuoi considerare $a_n$ come funzione da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ allora $n_\epsilon$ lo devi immaginare sull'asse $x$.
Paola
$|x|=\{(x, x\geq 0),(-x, x<0):}$
sfruttando il fatto che sapevo che $-1/n <0$.
Riguardo alla prima domanda: $\epsilon$ è nella definizione un numero arbitrario, mentre $n_\epsilon$ è un intero che si trova facendo i calcoli e che dipende dall'$\epsilon$ scelto e dalla successione considerata. Infatti nell'esempio sopra la consegna mi ha dato un $\epsilon$ ($1/2$) ed io ho calcolato di conseguenza $n_\epsilon =2$.
Parli di ascisse ed ordinate: se intendi che vuoi considerare $a_n$ come funzione da $\mathbb{N}$ a $\mathbb{R}$ allora $n_\epsilon$ lo devi immaginare sull'asse $x$.
Paola
Ah.. Capisco, avevo considerato nel valore assoluto solo le regole per le disequazioni, invece tu escludi a priori il suo valore negativo, in quanto $ n in NN $ e perché stiamo parlando comunque di una distanza, che non è mai negativa.
Scusami per l'altra domanda, sei già stata molto paziente.. Forse non sono esaustive le mie dispense o sono proprio io che non ci arrivo, ma non capisco l'utilità di $\nu_epsilon$.. Capisco che la traccia dell'esercizio mi chiedeva di calcolarlo, ma non riesco proprio a vedere lo scopo dell'esercizio..
Poi, ho capito che per ottenere questo $\nu_epsilon$ applico la formula iniziale $ |a_n - a| < epsilon $ , ma se non conoscessi a e quindi a che valore converge la mia successione, cioè se volessi verificare che una data successione sia convergente e determinarne io il limite, cosa andrei a sostituire nella formula ad a ?
Scusami per l'altra domanda, sei già stata molto paziente.. Forse non sono esaustive le mie dispense o sono proprio io che non ci arrivo, ma non capisco l'utilità di $\nu_epsilon$.. Capisco che la traccia dell'esercizio mi chiedeva di calcolarlo, ma non riesco proprio a vedere lo scopo dell'esercizio..
Poi, ho capito che per ottenere questo $\nu_epsilon$ applico la formula iniziale $ |a_n - a| < epsilon $ , ma se non conoscessi a e quindi a che valore converge la mia successione, cioè se volessi verificare che una data successione sia convergente e determinarne io il limite, cosa andrei a sostituire nella formula ad a ?
Di solito in questo tipo di esercizi $a$ va determinato da te a priori semplicemente facendo il limite. Ti serve averlo per forza.
Non capisco la domanda su $n_\epsilon$ sinceramente. Cosa significa che non ne vedi l'utilità?
Paola
Non capisco la domanda su $n_\epsilon$ sinceramente. Cosa significa che non ne vedi l'utilità?
Paola
Volevo dire, se non so se la mia successione sia convergente o no, devo comunque trovarne il limite ?
Per quanto riguarda $ nu_epsilon $ credo di avere più o meno un'immagine mentale ora, e ti ringrazio ancora per la pazienza nei chiarimenti.
Per quanto riguarda $ nu_epsilon $ credo di avere più o meno un'immagine mentale ora, e ti ringrazio ancora per la pazienza nei chiarimenti.
Trovare il limite è sempre la prima cosa in questo tipo di esercizi.
Paola
Paola
Al di là di ogni utile teoria, io continuo ancora ad avere problemi con la parte pratica degli esercizi, dai più semplici e banali.. Come primo esercizio di tutto il capitolo sulle successioni dovevo semplicemente "Verificare che la successione costante $ a_n -= a $ converge ad $ a $ ." e non saprei che passaggi fare per iniziare.. Come si dimostra questo ? ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Applichiamo la definizione di limite: sia $\epsilon$ un qualunque numero positivo.
Calcoliamo $|a_n-a|=|a-a|=0$. Quindi $0=|a_n-a|<\epsilon$ (e per ogni $n$!).
Dunque abbiamo dimostrato che scelto un qualunque $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ (che abbiamo visto essere $n_\epsilon=1$ visto che valeva per ogni $n$) tale per cui per ogni $n\geq n_\epsilon$ si ha $|a_n-a|<\epsilon$.
Questa è esattamente la definizione di $\lim_{n\to\infty}a_n =a$.
Paola
Calcoliamo $|a_n-a|=|a-a|=0$. Quindi $0=|a_n-a|<\epsilon$ (e per ogni $n$!).
Dunque abbiamo dimostrato che scelto un qualunque $\epsilon>0$ esiste un $n_\epsilon$ (che abbiamo visto essere $n_\epsilon=1$ visto che valeva per ogni $n$) tale per cui per ogni $n\geq n_\epsilon$ si ha $|a_n-a|<\epsilon$.
Questa è esattamente la definizione di $\lim_{n\to\infty}a_n =a$.
Paola
Mi arrendo.. Credevo di aver compreso le tue spiegazioni, e invece forse non è per me la matematica.. 
Questo è il mio ultimo esercizio :
"Verificare che la successione $ {(n - 1) / n} $ converge a $ 1 $ ;
valutare $ nu_epsilon $ per $ epsilon = 1 / 2 $ , $ epsilon = 1 / 10 $ , $ epsilon = 1 / 100 $ ."
Dunque io l'ho interpretato così :
Dati (o variabili) :
$ a_n = {(n - 1) / n} $ , $ a = 1 $ , $ epsilon' = 1 / 2 $ . $ nu_epsilon = $ ? .
$ |(n - 1) / n - 1| = |(n - 1 - n) / n| = |-1 / n| = 1 / n < epsilon rArr 1 / n < 1 / 2 rArr n geq 2 $ .
$ rArr $ Risultato : Fissato un arbitrario punto $ epsilon' = 1 / 2 $ , dal punto $ nu_(epsilon') = 2 $ in poi, la successione ( $ a_n $ ) è più piccola dell'elemento $ epsilon' = 1 / 2 rArr $ la successione converge ad $ 1 $ ( $ a $ ) ;
$ rArr $ Dal punto $ 10 $ in poi la successione è più piccola di $ 1 / 10 $ $ rArr $ converge ad $ 1 $ ( $ a $ ) ;
$ rArr $ Dal punto $ 100 $ la successione è più piccola di $ 1 / 100 $ $ rArr $ e converge ad elemento $ 1 $ .
.. il che non mi sembra affatto vero, perché effettivamente la successione $ {(n - 1) / n} $ converge ad $ 1 AA n $ , poi mi risulta invece che converge a $ 0 $ , quindi è infinitesima ??
Paola, ti ringrazio tantissimo per la tua disponibilità nell'aiutarmi.. Io desideravo molto riprendere i miei studi, sospesi proprio per via degli esami propedeutici di matematica, ma a quanto pare non è per me. E' da tempo che mi impegno, ma ogni sforzo sembra inutile.
Credevo di aver compreso le tue spiegazioni, e invece forse non è per me la matematica.. Questo è il mio ultimo esercizio :
"Verificare che la successione $ {(n - 1) / n} $ converge a $ 1 $ ;
valutare $ nu_epsilon $ per $ epsilon = 1 / 2 $ , $ epsilon = 1 / 10 $ , $ epsilon = 1 / 100 $ ."
Dunque io l'ho interpretato così :
Dati (o variabili) :
$ a_n = {(n - 1) / n} $ , $ a = 1 $ , $ epsilon' = 1 / 2 $ . $ nu_epsilon = $ ? .
$ |(n - 1) / n - 1| = |(n - 1 - n) / n| = |-1 / n| = 1 / n < epsilon rArr 1 / n < 1 / 2 rArr n geq 2 $ .
$ rArr $ Risultato : Fissato un arbitrario punto $ epsilon' = 1 / 2 $ , dal punto $ nu_(epsilon') = 2 $ in poi, la successione ( $ a_n $ ) è più piccola dell'elemento $ epsilon' = 1 / 2 rArr $ la successione converge ad $ 1 $ ( $ a $ ) ;
$ rArr $ Dal punto $ 10 $ in poi la successione è più piccola di $ 1 / 10 $ $ rArr $ converge ad $ 1 $ ( $ a $ ) ;
$ rArr $ Dal punto $ 100 $ la successione è più piccola di $ 1 / 100 $ $ rArr $ e converge ad elemento $ 1 $ .
.. il che non mi sembra affatto vero, perché effettivamente la successione $ {(n - 1) / n} $ converge ad $ 1 AA n $ , poi mi risulta invece che converge a $ 0 $ , quindi è infinitesima ??
Paola, ti ringrazio tantissimo per la tua disponibilità nell'aiutarmi.. Io desideravo molto riprendere i miei studi, sospesi proprio per via degli esami propedeutici di matematica, ma a quanto pare non è per me. E' da tempo che mi impegno, ma ogni sforzo sembra inutile.
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