Successioni complesse

[Dreamphiro]

Mi piacerebbe leggere le dimostrazioni relative alle proprietà delle successioni complesse, quelle analoghe alle reali. Potete indicarmi gentilmente una dispensa che le riporta? L'Acerbi dice solo che per le successioni complesse valgono proprietà analoghe alle reali, ma non riporta dimostrazioni. Grazie.

[dissonance]

Un libro che punta subito alla massima generalità è Principi di analisi matematica di Rudin. Ma io suggerisco di provare a fare da te. Tutte le dimostrazioni che non fanno uso delle proprietà di ordine dei numeri reali si estendono a successioni di numeri complessi a patto di sostituire il valore assoluto con il modulo (che peraltro anche tipograficamente si usa indicare con lo stesso simbolo, proprio per questo motivo). Quindi non ha più senso parlare di "successione monotona" e di tutti i teoremi connessi, mentre puoi benissimo parlare ancora di "successione convergente", "successione di Cauchy" e "successione limitata".

Prova come esempio a dimostrare che una successione complessa \((z_n)\) convergente è di Cauchy. Grazie alla convenzione tipografica di indicare con lo stesso simbolo il modulo e il valore assoluto, tutto ciò che devi fare è riscrivere la dimostrazione reale. Non cambia assolutamente nulla.

[Dreamphiro]

Si, in effetti non ha senso parlare di crescenza, decrescenza ecc...scontato, ma non ci avevo pensato, grazie per avermelo fatto notare. Per il resto, sto provando a dimostrare alcuni risultati, tra cui quello che mi hai detto tu.